Grenzwertberechnung

Wissenschaft Mathematik
#1

Folgende Aufgabe:

"Man berechne die Grenzwerte:

  1. lim n->∞ 2n2 / ln(2n)

und

  1. lim n->0 sinus(an) / cos (Pi/2-n)"

Zur Berechnung habe ich jeweils die l’hospital-Regel benutzt.

Zu 1) 

lim n->∞ 2n2 / ln(2n) = 4n / (1/n) = 4n/1 * n/1 = 4n2 = ∞

Ist es korrekt, dass ich den im Nenner durch die Ableitung entstandenen Bruch in eine Multiplikation umgewandelt habe? Ist somit die Lösung korrekt, der Grenzwert geht gegen unendlich?

Zu 2)

lim n->0 sinus(an) / cos (Pi/2-n) = (a * cos(an)) / cos(n)

Hier zunächst eine Sache, die ich nicht so recht verstanden habe. Laut mehreren Ableitungsrechnern ist die Ableitung von cos (Pi/2-n) = cos (n). Dies würde ja bedeuten, dass der Ausdruck cos (Pi/2-n) gleich dem Ausdruck sin (n) wäre und somit dessen Ableitung cos (n) ist. Bisher war mir aber nur dieser Ableitungsweg bekannt:

sin (n) --> cos (n) --> -sin (n) --> …

Vielleicht kann mir jemand bei diesem Verständnisproblem helfen.

Weiter habe ich dann n=0 für (a * cos(an)) / cos(n) eingesetzt und erhalte den Grenzwert 0.

Korrekt?

Vielen lieben Dank für Hilfestellungen und Korrekturen jeglicher Art!

Mit schönem Gruß

Reiner

#2

Zu 1:

Die Quadratfunktion wächst ganz sicher schneller als der Logarithmus, deswegen wird dein Ergebnis stimmen.

Du hast den l’Hospital korrekt angewendet und danach kommt ja nur noch einfache Arithmetik, die du richtig durchgeführt hast.

Zu 2:
Natürlich ist sin x = cos (pi/2-x). Schau dir mal die Graphen von Sinus und Cosinus an, und überlege dir, dass cos (pi/2-x) für eine gespiegelte Funktion steht.

Ansonsten ist cos 0 ganz gewiss nicht 0.

Mein Tipp: Schau dir mal den Graphen der Funktion (x -> sin(ax) / cos (Pi/2-x)) an. Den Grenzwert an der Stelle 0 zu bilden, bedeutet, auf der y-Achse einen Punkt so einzuzeichnen, dass er sich ohne Sprung in den restlichen Funktionsgraphen einfügt. So kann man den Grenzwert schon visuell bestimmen.

#3

Hallo,

Zu 1: Du hast auf der rechten Seite „lim n-> oo“ vergessen, aber sonst ist die Berechnung korrekt.

Lim n->oo 2*n^2/ln(2/n) = lim n->oo 4*n/(1/n) = lim n->oo 4*n^2 = oo

Zu 2:Tatsächlich gilt cos(pi/2-n) = sin n (Formelsammlung).

Also:Lim n->0 sin(a*n)/cos(pi/2-n) = lim n->0 sin(a*n)/sin(n) = lim n->0 a*cos(a*n)/cos(n) = a/1 = a. 

Der Grenzwert ist also a, nicht 0.

Gruß

Baxbert

#4

Hallo Reiner

Zu 1:
Du kannst eine einfache Ungleichung benutzen. Es gilt für n>=1:
2n > ln(2n) 2n/ln(2n) > 1
Daraus folgt:
2(n^2)/ln(2n) = n*(2n/ln(2n)) > n

Zu 2::
Dass cos(pi/2-n)=sin(n) gilt, weißt Du ja schon von den früheren Antworten. Und dass die Lösung 0 falsch ist, weißt Du ja auch schon.
Zur Lösung der Aufgabe kannst Du auch folgenden Ansatz wählen:
Für sehr kleine x gilt die Näherung x ~ sin(x).
Damit gilt: lim n->0 sin(an) / sin(n) = lim n->0 an/n = a

Viele Grüße

Thomas

#5

Ad 1). Ja, ist richtig. Auch wenn Sie die Umformung nicht gemacht hätten, wäre kein neuer unbestimmter Ausdruck entstanden, sondern einfach nur „Unendlich / Null“.

Ad 2).
Hier ist Ihnen in der Endrechnung ein Fehler unterlaufen.  (a * cos(an)) / cos(n) hat für n=0 den Wert a, nicht Null, da cos (0) = 1 ist.

Ihr Verständnisproblem beginnt nicht erst bei den Ableitungen, sondern schon viel früher. Die beiden Funktionen Sinus und Cosinus hängen von Haus aus so zusammen:

sin x = cos (90° - x)
cos x = sin (90° - x)

Für die Berechnung bedeutet das folgendes: Bevor Sie noch die Regel von l’Hospital anwenden, formen Sie den Nenner nach o.a. Formel um.

Das ergibt dann den Quotienten sin (an) / sin n. Und der lässt sich leicht bewältigen.

#6

Vielen Dank für die ganzen Antworten und Hinweise auf Fehler!
Die Tipps haben mir sehr geholfen, was die Aufgaben im speziellen und das Verständnis derer im Allgemeinen angeht.