Hallo!
Ich hoffe mir kann einer bei diesen Matheaufgaben helfen bzw. erläutern wie diese berechnet werden.
Berechnen Sie die Grenzwerte:
a) lim x->0 x²+3x:x²+2x
b) lim x->0,5 2x²+x-1:4x²-1
Vielen Dank!
Hi Zitrone,
du klammerst x aus und dann kannst du es sozusagen wegkürzen. Du hast also an der Stelle x=0 eine „stetig hebbare Lücke“ Der Grenzwert ist 3/2
Bei b)
musst du im Nenner die 3. Binomische Formel anwenden und im Zähler „faktorisieren“.
Probier mal im Zähler (2X-1) auszuklammern.
Viel Spaß beim Knobeln!
Gruß Samuel
Hallo
bei dem ersten ist es interessant von welcher Seite die Funktion gegen 0 streben soll.
Ansonsten ist es doch möglich einmal für x 0.000001 oder -0.000001 einzusetzen und zu berechnen. Da siehst du dann wogegen die Funktion strebt.
Bei der zweiten Funktion verstehe ich dein Problem ehrlich gesagt nicht, da man 0.5 für x problemlos einsetzen kann. Die Grenzwertbetrachtung ergibt nur dann Sinn, wenn die Funktion den Grenzwert nicht annehmen kann oder der Grenzwert wie häufig unendlich bzw. - unendlich beträgt.
Ich hoffe ich konnte weiterhelfen.
Mit freundlichen Grüßen
Polonium7.2
also zu erst mal: bist u sicher, dass du die Funktionen so meinst, wie sie da stehen? Also ohne Klammern?
ich gehe mal davon aus, dass du (x²+3x)
x²+2x) meinst.
Hattet ihr bereits Grenzwerte in der schule?
Um den Grenzwert einer FKT zu berechnen formst du sie zunächst um; du klammerst die höchste Potenz aus:
(x²+3x)x²+2x)=(x²(1+3/x))x²(1+2/x))
dann kannst du bequem die x² rauskürzen: (1+3/x)1+2/x)
und dann setzt du den gegebenen X wert ein: (1+3/0)1+2/0) und erhältst dann einen Wert, welcher der Grezwert ist.
Nun hast du allerdings eine ziemlich gemeine Gleichung; wie du siehst, würde durch 0 dividiert werden; an dieser Stelle kann nicht weiter _gerechnet_ werden, daher bediene ich mich an dieser stelle eines Tricks und schaue mir den FKT Graph an.
da sieht man dann ganz schnell, dass bei X=0 die FKT den Wert 1,5 hat; dies ist dann die Lösung.
Der Lim wird ja eigentlich benutzt, um herrausufinden, wohin eine FKT strebt, also welchem Wert/Stelle sie sich nähert, aber nie erreicht.
In diesem Fall war das nicht so, da der Graph bei X=0 ja genau definiert ist mit Y=1,5.
Im zweiten Fall kannst du genau so verfahren; die LSg ist dann 4/0 in diesem Fall siehst du, dass die FKT an der stelle 0,5 nicht definiert ist; dort ist die Polstelle.
alles klar soweit?
a) setze einfach den Grenzwert ein, dann wird der 1. und 3. Teil des Ausdrucks Null, beim 2. Teil wird es etwas schwieriger, da Null geteilt durch unendlich kein Ergebnis liefert: setze immer kleinere Werte für x ein (0,01 dann 0,00001 dann 0,0000001. Dadurch wird der 2. Teil des Ausdrucks immer größer, also ist der Grenzwert 0 + unendlich + 0, also unendlich, wobei die Funktion an der Stelle x=0 nicht definiert ist.
b) die Formel mist sicher falsch, du meinst wohl 2x²+x-1:frowning:4x²-1), sonst macht der Grenzwert 0,5 keinen Sinn.
Bei dieser Formel ist der Grenzwert für x- > 0,5 „minus Unendlich“, weil der Bruch dann eine Division durch Null ergibt und 0,5 + 0,5 - unendlich ist „minus Unendlich“.
Hallo Samuel,
hast du schon mal gehört, dass in der Mathematik „Punkt vor Strich“ gilt. Wenn die Formel z.B. bei Frage a) falsch geschrieben wurde, könnte man über deine Antwort mal nachdenken, dann muss diese Voraussetzung aber auch klar formuliert werden.
Wenn due Formel stimmt, ist deine Antwort falsch !
nach „de l’Hôpital“ gilt:
\lim_{n \to 0} \frac{x^2+3x}{x^2+2x} = \lim_{n \to 0} \frac{2x+3}{2x+2} =\frac{3}{2} \qquad
\lim_{n \to 0,5} \frac{2x^2+x-1}{4x^2-1} = \lim_{n \to 0,5} \frac{4x+1}{8x} =\frac{3}{4}
Die anderen Lösungen hier zu b) sind meines Erachtens falsch (wobei Du Dir ohnehin die richtige Klammerung angewöhnen musst: genau bei solchen Fragen in Foren ist das unerlässlich!!!)
natürlich mit „x“ statt „n“:
\lim_{x \to 0} … \qquad
\lim_{x \to 0,5} …!!!