Gruppen

Wissenschaft Mathematik
#1

Liebe/-r Experte/-in,
Liebe/-r Experte/-in,
ich hätte mal eine kurze Frage bzgl. des Themas oben.
Ich habe einen Aufgabenzettel erhalten mit dem ich den Stoff der Vorlesung wiederholen soll. Da ich aber leider nie zur Vorlesung gehen kann, arbeite ich das immer nach. Ich habe mich jetzt mit einigen Aufgaben beschäftigt. Wäre sehr freundlich, wenn mir jemand sagen könnte, ob ich das richtig gemacht habe. Bei einigen Aufgaben komme ich leider nicht weiter, da ich das aus dem Skript einfach nicht auf die Aufgaben anwenden kann, obwohl ich eigentlich weiß, was zu tun ist.
Wäre nett, wenn Sie mir vor allem bei diesen Aufgaben weiterhelfen könnten.

  1. Zeigen Sie, daß die Menge G := \ {1} bezüglich der durch a ◦ b := a + b − ab
    für a, b ∈ G definierten Verknüpfung eine Gruppe ist. Lösen Sie in G die Gleichung 5 ◦ x ◦ 6 = −19 .

  2. Es sei G eine nichtleere Menge mit einer Verknüpfung ◦: G × G → G, (a, b)

#2

Hallo;

ich finde die Aufgaben, die du selbst gelöst hast, nicht? Auch die Frage bei 2. wird mir nicht ganz klar.

Dann also 1.: Was muss denn für eine Gruppe alles gelten? Merkzettel rauskramen und abhaken:

  1. Assoziativität:
    (a°b)°c=a°(b°c)
    (a+b-ab)°c=a°(b+c-bc)
    a+b-ab+c-ac-bc+abc=a+b+c-bc-ab-ac+abc
    Umsortieren zeigt, dass dies eine wahre Aussage ist.

  2. Es existiert ein neutrales Element, sodass e°a=a°e=a
    Sehen wir uns 0 an:
    0+a-0*a=a+0-a*0=a
    a=a=a wahre Aussage.

  3. Es existiert ein inverses Element, sodass a°a^(-1)=a^(-1)°a=e=0
    Weil mir da im Kopf auch nix einfällt, lösen wir mal die Gleichung nach a^(-1), wo ich a^(-1) mal z nenne (damit ich nicht so viel tippseln muss)
    a+z-az=0
    z-az=-a
    z(1-a)=-a
    z=-a/(1-a)=a/(a-1)

Hier würde sich ein Problem zeigen, denn es muss für jedes a ein inverses Element geben, dieser Term wäre aber für a=1 nicht definiert - glücklicherweise ist 1 nicht in G enthalten (Schreibfehler? Grundmenge steht nicht dort), damit also auch dieser Punkt erfüllt.

Wir haben also anscheinend eine Gruppe vor uns, und lösen mal die Gleichung mithilfe der gezeigten Assoziativität:
5°x°6=5°(x°6)=5°(x+6-6x)=5+x+6-6x-5x-30+30x=
20x-19=-19, x=e=0.

Hoffe, das hat geholfen, und auch deine selbst gelösten Aufgaben sind zufriedenstellend gelöst.

mfG

#3

Vielen Dank.
Sie haben mir echt sehr geholfen.
Habs gerade hinbekommen :smile:

#4

Hi Lana,

ich glaube, vom Text fehlt einiges bei mir.

Bin mir auch bei Aufgabe 1 nicht ganz sicher, was gemeint ist. Soll G kein 1-Element haben und die anderen Gruppengesetze trotzdem gelten ? Zum Lösen der Gleichung hätte ich entweder über das Inverse der Gruppenoperation versucht, die Gleichung nach x aufzulösen oder - anderer Ansatz - erstmal alles mit der Definition durch a und b ersetzt und dann ausgerechnet.

Naja, hoffe, meine Brute-Force-Ideen helfen ein bisschen.

tschau,
Martin

#5

Verzeihung, ich habe diese Anfrage erst jetzt (und auch nur ganz zufällig) gesehen. Ist hier noch eine Frage offen?

#6

G := \ {1}
was soll dass für ne menge sein??

Es sei G eine nichtleere Menge mit einer Verknüpfung
◦: G × G → G, (a, b)

soll das heiisen a ◦ b := (a,b) ??

+wie lautet dann die frage??

fragen über fragen–smile…

#7

das anliegen ist vermutlich nicht mehr aktuell… oder?

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