Gruppen / Körper

Wissenschaft Mathematik
#1

Liebe/-r Experte/-in,
ich hätte mal eine kurze Frage bzgl. des Themas oben.
Ich habe einen Aufgabenzettel erhalten mit dem ich den Stoff der Vorlesung wiederholen soll. Da ich aber leider nie zur Vorlesung gehen kann, arbeite ich das immer nach. Ich habe mich jetzt mit einigen Aufgaben beschäftigt. Wäre sehr freundlich, wenn mir jemand sagen könnte, ob ich das richtig gemacht habe. Bei einigen Aufgaben komme ich leider nicht weiter, da ich das aus dem Skript einfach nicht auf die Aufgaben anwenden kann, obwohl ich eigentlich weiß, was zu tun ist.
Wäre nett, wenn Sie mir vor allem bei diesen Aufgaben weiterhelfen könnten.

  1. Zeigen Sie, daß die Menge G := \ {1} bezüglich der durch a ◦ b := a + b − ab
    für a, b ∈ G definierten Verknüpfung eine Gruppe ist. Lösen Sie in G die Gleichung 5 ◦ x ◦ 6 = −19 .

  2. Es sei G eine nichtleere Menge mit einer Verknüpfung ◦: G × G → G, (a, b)

#2

Habe die Frage übersehen. Die Frage wird nur unvollständig angezeigt. Ist sie noch aktuell? Gruß Baxbert

#3

Hat sich schon erledigt.
Danke.

Habe die Frage übersehen. Die Frage wird nur unvollständig
angezeigt. Ist sie noch aktuell? Gruß Baxbert

#4

Also meines Wissens musst dur für eine Gruppe drei Forderungen prüfen:

  1. Assiziativität, d.h. (a*b)*c=a*(b*c)
  2. Es existiert ein neutrales Element e mit a*e=a
  3. Zu jedem a aus der Gruppe existiert ein inverses a^-1, so dass a*a^-1 = e

Das hieße bei deinem Fall, (Ich gehe mal von G=R{1} aus)
1.(a°b)°c= (a+b-ab)°c=(a+b-ab)+c-(a+b-ab)c=a+b-ab+c-ac-bc+abc= a+b+c-ab-ac-bc+abc=a+(b+c-bc)-a(b+c-bc)=a°(b°c)
2. Nur für e=0 passt die Forderung a°e=a
3. Für das Inverse a^-1 zu a gilt= 1/a^-1=1-1/a, es existiert somit, aber nicht für a=1, was ja aus der Menge ausgenommen ist.

Also alle drei Forderungen erfüllt.

Mit Aufgabe 2 kann ich leider nix anfangen.

Grüße