Sei M eine echte Teilmenge von F und M’ die Menge der Häufungspunkte von M. Sei x ein Häufungspunkt von M’. Zeigen Sie, dass x Element von M’ ist.
Kann mir da bitte jemand einen ersten Anhaltspunkt geben?
Was ist überhaupt der Unterschied des Häufungspunkts einer Menge zu dem einer Folge?
Hallo,
Sei M eine echte Teilmenge von F und M’ die Menge der
Häufungspunkte von M. Sei x ein Häufungspunkt von M’. Zeigen
Sie, dass x Element von M’ ist.Kann mir da bitte jemand einen ersten Anhaltspunkt geben?
Weil x HP von M’ ist, liegen in jeder Umgebung von x unendlich viele Elemente y aus M’.
Weil y HP von M ist, liegen in jeder Umgebung von y unendlich viele Elemente aus M.
Jetzt muss man nur noch geeignete Umgebungen wählen, so dass man sieht, dass in jeder Umgebung von x auch unendlich viele Elemente aus M liegen.
Was ist überhaupt der Unterschied des Häufungspunkts einer
Menge zu dem einer Folge?
Eine Folge ist eine abzählbare Menge, sonst ist da kein Unterschied.
–
Philipp H. v. Loewenfeld
Hallo,
wenn ich mal den Erbsenzähler spielen darf…
Was ist überhaupt der Unterschied des Häufungspunkts einer
Menge zu dem einer Folge?Eine Folge ist eine abzählbare Menge, sonst ist da kein
Unterschied.
…ist dies nicht ganz korrekt. Eine Folge ist eine Abbildung (Funktion) von den natürlichen Zahlen in eine (beliebige) Menge M. Da die natürlichen Zahlen abzählbar sind, ist das Bild, das eine Teilmenge von M ist, höchstens abzählbar (heißt: abzählbar oder endlich). Oft wird allerdings eine Folge unpräziserweise tatsächlich mit ihrem Bild identifiziert, obwohl es im Grunde verschiedene mathematische Objekte sind.
Grüße,
Martin
Hallo,
wenn ich mal den Erbsenzähler spielen darf…
da kann ich nachlegen 
Was ist überhaupt der Unterschied des Häufungspunkts einer
Menge zu dem einer Folge?Eine Folge ist eine abzählbare Menge, sonst ist da kein
Unterschied.…ist dies nicht ganz korrekt. Eine Folge ist eine Abbildung
(Funktion) von den natürlichen Zahlen in eine (beliebige)
Menge M. Da die natürlichen Zahlen abzählbar sind, ist das
Bild, das eine Teilmenge von M ist, höchstens abzählbar
(heißt: abzählbar oder endlich).
Um den Begriff des Häufungspunktes einer Folge völlig analog zu dem einer beliebigen Menge zu definieren, darf man allerdings nicht das Bild der Folge betrachten, sondern muss die Menge der Folgenglieder betrachten, welche immer abzählbar ist.
Beispiel: Das Bild von a_n=(-1)^n ist {-1,1} und hat daher keine Häufungspunkte. Die Menge der Folgenglieder (und die Folge) haben aber sehr wohl die Häufungspunkte -1 und 1.
Hallo,
wenn ich mal den Erbsenzähler spielen darf…
da kann ich nachlegen
Nun, vielleicht geht das ad infinitum…
Um den Begriff des Häufungspunktes einer Folge völlig analog
zu dem einer beliebigen Menge zu definieren, darf man
allerdings nicht das Bild der Folge betrachten, sondern muss
die Menge der Folgenglieder betrachten, welche immer abzählbar
ist.
Die Glieder einer Folge bilden eine Menge. Und die kann endlich sein. Was immer abzählbar ist, ist der Definitionsbereich einer Folge (die natürlichen Zahlen).
Wenn man eine Art „geordnete Menge“ bilden wollte, könnte man ein unendliches Kreuzprodukt betrachten - ist aber in diesem Zusammenhang nicht gerade üblich. Die Aussage „die Menge der Folgenglieder ist immer abzählbar“ ist gemäß der Definitionen nicht richtig.
Beispiel: Das Bild von a_n=(-1)^n ist {-1,1} und hat daher
keine Häufungspunkte. Die Menge der Folgenglieder (und die
Folge) haben aber sehr wohl die Häufungspunkte -1 und 1.
Deshalb unterscheiden sich die Definitionen der Begriffe bei Folgen und Mengen und deshalb auch mein kleiner Einwand. 
Zur Verwirrung aller Mathestudenten gibt es auch noch einen weiteren Begriff: Den des Berührpunktes (bzw. Berührungspunktes, engl. adherent point).
Bruder Beispiel ist angeblich des beste Prediger, schauen wir uns also die Definitionen anhand von Beispielen (und am besten nur eindimensional, also in der Menge der reellen Zahlen R) an.
Eine Folge a: N -> R, auch (an)n in N oder für faule (an) geschrieben, hat die reellen Werte an (Ohne einschießende Klammern: reelle Zahl, d.h. Element des Bildes der Folge - mit Klammern: die ganze Funktion). Folgenglieder können wie in dem obigen Beispiel an := (-1)n eine endliche (Bild-) Menge formen.
Erster Fall: Folgen. Ein Berührpunkt ist eine (reelle) Zahl a, für die ein jedes offene sie umschließende Intervall der Form (a-r, a+r) mit r>0 für unendlich viele n die zugehörigen an enthält. Bei Folgen wird der Begriff Häufungspunkt identisch definiert. Im obigen Beispiel enthält offensichtlich das Intervall (-1-r, -1+r) immer an mit ungeraden natürlichen Zahlen n, wovon es unendlich viele gibt. Daher ist -1 ein Häufungspunkt/Berührpunkt der Folge.
Anderes Beispiel: Bei bn := 1/n leistet das die 0, da das Intervall (0-r, 0+r) = (-r, r) ab einem hinreichend großen N (n>N, es gibt unendlich viele davon) die zugehörigen bn enthält. Die 1 ist zwar im Bild der Folge enthalten (b1=1), das Intervall (1-1/10, 1+1/10) schneidet das Bild der Folge B := {bn:n in N} nur für n=1 und nicht für unendlich viele n. Damit ist 1 kein Häufungspunkt/Berührpunkt.
Kommen wir zu Mengen. Ein Berührpunkt a einer Menge M wird meist so definiert: Ein jedes ihn umschließende Intervall der Art (a-r, a+r) muss M schneiden (für jedes r>0). Anhand der Bilder-Mengen der obigen Folgen sieht man hier die Gemeinsamkeit - und den Unterschied. Für die Menge A := {an:n in N} = {-1,1} sind -1 und 1 Berührpunkte, da die sie umschließenden Intervalle, egal wie klein, natürlich stets die Punkte selbst enthalten. Im Fall B sind analog sowohl 0 als auch die 1 Berührpunkte - letzterer, weil er in der Menge selbst enthalten ist und M damit ebenfalls alle Intervalle der Form (1-r, 1+r) schneidet.
Der Begriff des Häufungspunktes (engl. accumulation point) ist bei Mengen anders als bei der Berührpunkt definiert: Alle den Häufungspunkt a umschließenden Intervalle müssen die Menge M schneiden - auch wenn man den Punkt a selbst herausnimmt! Damit ist 0 ein Häufungspunkt von B, 1 jedoch nicht. Entsprechend sind -1 und 1 keine Häufungspunkte der Menge A.
Also:
-1, 1 Häufungspunkte/Berührpunkte der Folge (an),
keine Häufungspunkte der Menge {an:n in N},
dafür aber Berührpunkte hiervon.
0 Häufungspunkt/Berührpunkt der Folge (bn) und
ebenfalls Häufungspunkt und Berührpunkt der Bild-Menge {bn:n in N}.
1 kein Häufungspunkt/Berührpunkt dieser Folge,
auch kein Häufungspunkt der Bild-Menge,
dafür Berührpunkt.
Vieleicht haben wir dem die Frage eingangs Stellenden ein wenig helfen können.
Grüße,
Martin
Hallo,
da will ich mich der Erbsenzählerei mal anschließen.
Weil x HP von M’ ist, liegen in jeder Umgebung von x unendlich
viele Elemente y aus M’.
Diese Aussage muss nicht unbedingt wahr sein. Wahr ist sie zum Beispiel dann, wenn F eine Teilmenge der rellen Zahlen ist und der Umgebungsbegriff auf die natürliche Topologie der reelen Zahlen beruht.
Im allgemeinen kann es sich aber bei F (und also auch bei M) um irgendeine Menge mit irgendeiner zugehörigen Topologie handeln. Da der Begriff Häufungspunkt mittels Umgebung definiert ist, ist er also von der verwendeten Topologie abhängig. Per Definition ist x genau dann ein Häufungspunkt der Teilmenge M von F, wenn für jede Umgebung U von x die Schnittmenge aus M und U x mindestens ein Element enthält, welches nicht das x ist. Es brauchen also nicht unbedingt unendlich viele Elemente in diesen Umgbungen zu liegen.
Dazu ein Beispiel:
F={A,B} (A ungleich B)
M={A}
Topologie T={ {}, F }, d.h. nur die leere Menge und F seien offene Teilmengen von F.
Dann ist B ein Häufungspunkt von M, denn es gibt keine Umgebung von B, deren Schnitt mit M nur B enthält (schließlich ist F die einzige Umgebung von B; und F geschnitten M ist gerade {A}, enthält also ein Element ungleich B). B ist gleichzeitig der einzige Häufungspunkt von M, denn F ist ja eine Umgebung, deren Schnitt mit M nur das Element A enthält, A ist also kein HP von M.
Insbesondere sieht man hierbei, dass auch endliche Mengen Häufungspunkte haben können. Es können sogar einelementige Mengen unendlich viele Häufungspunkte besitzen. Beispiel:
F=N (natürliche Zahlen)
Topologie T={ {}, F }
M={1}
Die Menge der Häufungspunkte ist dann N{1}, also unendlich viele HPe für M.
So, schluss mit Erbsen! Gruss Jens
Hallo,
wenn ich mal den Erbsenzähler spielen darf…
da kann ich nachlegen
Nun, vielleicht geht das ad infinitum…
das sicher nicht, wir sind ja schließlich Menschen, keine Folgen
die Menge der Folgenglieder betrachten, welche immer abzählbar
ist.Die Glieder einer Folge bilden eine Menge. Und die kann
endlich sein.
Nein, da a_1 nicht dasselbe Element der Menge der Folgenglieder ist, wie a_2, auch wenn a_1=a_2 gilt. (Sicher, das ist Definitionssache, aber sonst funktioniert die Definition vom HP einer Folge durch „jede Umgebung von h enthält unendlich viele Folgenglieder a_n“ vgl. z.B. Königsberger, Analysis 1)
[…] ist gemäß der Definitionen nicht richtig.
Dieser Satz ist grundsätzlich falsch, da es so etwas wie allgemein und immer gültige und verwendete Definitionen überhaupt nicht gibt.
Was immer abzählbar ist, ist der
Definitionsbereich einer Folge (die natürlichen Zahlen).
Und damit per definitionem auch die Menge der Folgenglieder, da diese bijektiv durch Indizierung auf die natürlichen Zahlen abgebildet werden.
Deshalb unterscheiden sich die Definitionen der Begriffe bei
Folgen und Mengen und deshalb auch mein kleiner Einwand.
Diese Unterscheidung ist, wenn sie vorgenommen wird, künstlich.
Zur Verwirrung aller Mathestudenten gibt es auch noch einen
weiteren Begriff: Den des Berührpunktes (bzw.
Berührungspunktes, engl. adherent point).
Warum sollte das verwirren?
an (Ohne einschießende Klammern: reelle Zahl, d.h.
Element des Bildes der Folge - mit Klammern: die ganze
Funktion).
Das kann man so definieren, muss es aber nicht.
Zwei Erbsenzähler, was soll das wieder geben…
[…] ist gemäß der Definitionen nicht richtig.
Dieser Satz ist grundsätzlich falsch, da es so etwas wie
allgemein und immer gültige und verwendete Definitionen
überhaupt nicht gibt.
Gut, damit bin ich einverstanden. Es fehlt bei mir das Wort „üblichen“.
Was immer abzählbar ist, ist der
Definitionsbereich einer Folge (die natürlichen Zahlen).Und damit per definitionem auch die Menge der Folgenglieder,
da diese bijektiv durch Indizierung auf die natürlichen Zahlen
abgebildet werden.
Nein. Die Abbildung N -> {-1,1}, mittels f(n)=(-1)^n ist nicht bijektiv.
Deshalb unterscheiden sich die Definitionen der Begriffe bei
Folgen und Mengen und deshalb auch mein kleiner Einwand.Diese Unterscheidung ist, wenn sie vorgenommen wird,
künstlich.
Nanana. Da habe glatt auch mal nachgeschlagen. Auch Heuser schreibt „Der Leser unterscheide sorgfältig zwischen 'Häufungspunkt einer Menge“ und ‚Häufungswert einer Folge‘" (Analysis I, Teil 1, Abschn. 38, S. 235, Aufl. 7). Er benutzt den Begriff Häufungswert bei Folgen statt Häufungspunkt wohl der Verwechslungsgefahr wegen. Die Definition ist die gleiche, wie die, die ich im vorherigen Beitrag genannt hatte (s.u.).
an (Ohne einschießende Klammern: reelle Zahl, d.h.
Element des Bildes der Folge - mit Klammern: die ganze
Funktion).Das kann man so definieren, muss es aber nicht.
Sicher. Es macht einem allerdings das Leben leichter.
Noch eine Bemerkung zum Königsberger. Mir ist schon früher aufgefallen, dass einige Formulierungen in diesem Buch etwas unpräzise sind. Schauen wir wieder mal bei Heuser nach:
"Eine Zahl alpha heißt Häufungswert der Folge (a_n), wenn in jeder epsilon-Umgebung von alpha unendlich viele Folgenglieder liegen, wenn es also zu jedem epsilon > 0 unendlich viele Indizes n gibt, für die a_n in U oder also |a_n - alpha| 3
gewesen ist. Dies ist mit ein Grund, weshalb man (ich kenne niemanden, der es anders macht) Folgen als Abbildungen definiert. Und da eine Abbildung durch zweierlei, den Definitionsbereich und die punktweise Zuordnung
(Element des Definitionsbereichs)->(Element des Wertebereichs)
festgelegt ist, hat man ein sauberes Konstrukt, das auf Altbekanntem (Mengen und Abbildungen) aufbaut. Eine Folge ist kein neues, hiervon nicht ableitbares mathematisches Objekt. Z.B. wird nicht eine 1 unendlich oft irgendwie markiert, damit eine Gesamtheit von unendlich vielen neuen verscheidenen Objekten entsteht o.ä. - diese Vorstellung von Folgen ist eben falsch.
Die Glieder einer Folge bilden eine Menge. Und die kann
endlich sein.Nein, da a_1 nicht dasselbe Element der Menge der
Folgenglieder ist, wie a_2, auch wenn a_1=a_2 gilt.
Nein, ich bleibe bei meiner Aussage. Sowohl a_1 als auch a_2 sind Platzhalter für (hier reelle) Zahlen. Wenn sie gleich sind, ist die Menge {a_1, a_2} einelementig. Wenn alle a_n gleich sind, ist die Menge {a_n:n in N} einpunktig und nicht abzählbar. Mehr gibt es dazu eigentlich nicht zu sagen.
Was immer abzählbar ist, ist der
Definitionsbereich einer Folge (die natürlichen Zahlen).Und damit per definitionem auch die Menge der Folgenglieder,
da diese bijektiv durch Indizierung auf die natürlichen Zahlen
abgebildet werden.Nein. Die Abbildung N -> {-1,1}, mittels
f(n)=(-1)^n ist nicht bijektiv.
Das habe ich nicht behauptet. Aber die Abbildung N -> {Folgenglieder}; N -> a_n ist bijektiv (Indizierung), da die Abzählung sogar direkt angegeben ist.
Wie gesagt ich betrachte – wie Königsberger und Heuser – zwei Folgenglieder als unterschiedlich, auch wenn sie den gleichen Wert haben.
Noch eine Bemerkung zum Königsberger. Mir ist schon früher
aufgefallen, dass einige Formulierungen in diesem Buch etwas
unpräzise sind. Schauen wir wieder mal bei Heuser nach:"Eine Zahl alpha heißt Häufungswert der Folge (a_n), wenn in
jeder epsilon-Umgebung von alpha unendlich viele Folgenglieder
liegen, wenn es also zu jedem epsilon > 0 unendlich viele
Indizes n gibt, für die a_n in U oder also |a_n - alpha|
Das habe ich nicht behauptet. Aber die Abbildung N ->
{Folgenglieder}; N -> a_n ist bijektiv (Indizierung), da
die Abzählung sogar direkt angegeben ist.
In welcher Grundmenge liegt die Menge {Folgenglieder}? Sind ihre Elemente reelle Zahlen - oder um welche Objekte handelt es sich dabei?
Dass die Menge der Zeichenketten „a_n“ abzählbar ist, ist eine Trivialität, die bekanntlich daraus folgt, dass der Platzhalter n die Menge der natürlichen Zahlen durchläuft, da scheinen wir uns zumindest einig zu sein. Dass man den natürlichen Zahlen dann nicht nur diese Zeichenketten sinnfrei zuordnet, sondern diese immer Platzhalter für irgendwelche Elemente (einer Grundmenge) sind, sollte aber auch klar sein. Was ist in unserem Beispiel also ein Folgenglied, ein Element aus…?