. die differenz zweier Zahlen ist 64.die hälfte der größeren Zahl ist um 103 kleiner als die kleinere Zahl. Nenne die beiden Zahlen.
Ein ziemlich einfaches Gleichungssystem. Die Angaben die gemacht wurden reichen um 2 Gleichungen zu formulieren. Wenn die Zahlen X und Y sind, könnte man aus „differenz zweier Zahlen ist 64“ machen:
X - Y = 64
Auch „die hälfte der größeren Zahl ist um 103 kleiner als die kleinere Zahl“ kann in so eine Gleichung umgewandelt werden (die größere Zahl ist logischerweise das X). Wenn man das Ganze dann umstellt und die Gleichungen ineinander einsetzt, hat man die Zahlen.
Ich hoffe das reicht erstmal als Ansatz.
Hallo,
auch so kannst Du zu einer Lösung kommen:
● Denk Dir irgendwelche zwei Zahlen aus, deren Differenz 64 ist.
● Eine davon ist größer und eine kleiner. Gib die Hälfte der größeren an.
● Rechne aus, um wieviel diese Hälfte kleiner ist als die kleinere der beiden Ausgangszahlen.
● Wenn die Differenz 103 beträgt, bist Du fertig.
Wenn nicht, ändere die Ausgangszahlen ab und fang von vorne an.
Du merkst dann schnell, in welche Richtung (runter oder rauf) und wie stark Du die Ausgangszahlen abändern musst, um die gewünschte Differenz von 103 zu erhalten, und bekommst so ein ganz gutes intuitives Gefühl für die Logik dieses mathematischen Problems (es handelt sich um ein lineares 2×2-Gleichungssystem). Deshalb hat auch diese „Try-and-error-Methode“ durchaus einen didaktischen Wert.
Viel Spaß!
Gruß
Martin
Tut mir leid, aber die Antwort ist so einigermaßen sinnlos.
Diese Aufgabe wird ja irgendwoher kommen - vermutlich aus dem Mathematikunterricht. Da interessiert nicht, ob da am Ende die richtigen Zahlen stehen - da geht es darum, das Konzept zu verstehen. In diesem Fall Gleichungssysteme.
Wenn du da einfach nur die zwei Zahlen hinschreibst und angibst, das durch probieren rausbekommen zu haben, wirst du - zurecht - kaum Punkte für die Lösung erhalten. Einen didaktischen Wert kann ich dabei nicht erkennen.
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Hallo,
Wenn du da einfach nur die zwei Zahlen hinschreibst und angibst, das durch probieren rausbekommen zu haben, wirst du - zurecht - kaum Punkte für die Lösung erhalten.
so war es auch nicht gemeint.
Nehmen wir mal an, wir wollten diese Aufgabe mit einem rudimentären Mathematikverständnis, aber ohne irgendein Wissen um lineare Gleichungssysteme lösen.
Wir lesen den ersten Satz „Die Differenz zweier Zahlen ist 64“ und verstehen ihn. Zwei Zahlen mit dieser Differenz ausdenken, zum Beispiel 100 und 164 – das ist natürlich ein Leichtes für uns.
Der zweite Satz lautet „Die Hälfte der größeren Zahl ist um 103 kleiner als die kleinere Zahl.“ Aha. Da geht es um die Hälfte der größeren Zahl. In unserem Beispiel-Zahlenduo von oben ist die größere Zahl die 164 und die Hälfte davon ist 82. Diese Hälfte soll um 103 kleiner sein als die kleinere Zahl, also die 100. Das kommt hier nicht hin, denn 82 ist nicht um 103 kleiner als 100, sondern nur um 100 – 82 = 18 kleiner. Blöd – aber es war auch kaum zu erwarten, auf Anhieb die Lösung zu treffen.
Mit unserem ersten Versuch „100 und 164“ hat es also nicht gepasst. OK, dann ändern wir die Zahlen eben. Vielleicht ist es schlau, sie – statt „irgendwie“ – nur ein bisschen zu ändern, zum Beispiel zu 102 und 166. Was hat das für einen Effekt? Nun, die Hälfte der größeren Zahl ist dann um 166/2 – 102 = 83 – 102 = 19 größer als die kleinere Zahl. Guck an, das ist gerade 1 mehr als die 18 von vorhin!
Da testen wir doch gleich mal 104 und 168 und siehe da, die Hälfte der größeren Zahl ist um 168/2 – 104 = 84 – 104 = 20 größer als die kleinere Zahl. Wir erkennen das Prinzip: Wenn wir die Ausgangszahlen (beide) um 2 erhöhen, dann steigt diese „komische Hälfte-Differenz“ um 1.
Dieses Wissen erlaubt uns aber, auszurechnen, wie stark wir die Ausgangszahlen erhöhen müssen, um auf die in der Aufgabenstellung verlangten 103 zu kommen. Das geht sogar ganz schnell: Von 18 bis 103 sind es 85 Schritte und das Doppelte davon ist 170. Deshalb müssten die Zahlen 100 + 170 und 164 + 170, also 270 und 334 die Lösung sein – und das ist sie tatsächlich (man mache die Probe).
Sind wir damit schon zufrieden? Nein, nicht ganz.
Wir haben die kleinere Zahl der Lösung ausgerechnet als
100 + 2 · (103 – 18)
wobei die 18 ihrerseits das Ergebnis der Rechnung 100 – 164/2 war.
Die kleinere Zahl ist also gegeben durch
100 + 2 · (103 – (100 – 164/2))
oder
100 + 2 · (103 – 100 + 164/2)
Schreiben wir schließlich noch die 164 als Summe 100 + 64 …
100 + 2 · (103 – 100 + (100 + 64)/2)
… dann passiert etwas Cooles: In diesem Ausdruck subtrahiert sich alles, was mit der 100 zu tun hat, komplett weg, denn 100 + 2 ·(–100 + 100/2) = 0! Es ist auch klar, dass das so sein muss: Eine Zahl, die von uns willkürlich aus der Luft gegriffen wurde, hat natürlich nicht in den Termen der Lösungszahlen aufzutauchen.
Nach dem Verschwinden der 100 aus dem obigen Term für die kleinere Zahl der Lösung bleibt übrig:
2 · 103 + 64
und das ergibt tatsächlich 270. Die größere Zahl der Lösung ist dann natürlich 2 · 103 + 64 + 64 oder 2 · (103 + 64), was die 334 liefert. Und voilá: In diesen Termen stehen nur die in der Aufgabenstellung vorgegebenen Parameter, wie es sein muss. Jetzt sind wir zufrieden.
Ich halte (auch) das für eine legitime Lösung der Aufgabe. Obwohl noch nicht mal ein einziger Variablenbezeichner darin auftaucht.
Gruß
Martin
(Was ich allerdings gerne zugebe: Bei größeren Gleichungssystemen würde eine solche Argumentation schlicht zu voluminös werden, um noch praktisch durchführbar zu sein.)
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Ich gebe in diesem Fall Martin recht. Aus numerischer Sicht hat er ein Iterationsverfahren entwickelt, welches zwei Schranken zueinander führt.
Natürlich hat er nicht bewiesen, daß es funktioniert, und es ist (numerisch gesehen) langsamer als das Gleichungssystem, aber in meinen Augen hat dies auch didaktischen Wert.
So salopp wie die Aufgabe formuliert ist (soll/muß das Ergebnis in Z oder Q sein?), so salopp darf man, in meinen Augen, auch antworten.
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