Hallo, Thomas,
davon ausgehend, dass die Uhr ein Schmuckgegenstand mit praktischem Nutzen ist und Schmuckgegenstände wie Kleidungsstücke zu betrachten sind, wird man wohl allgemein sagen:
Ich lege/ziehe die Kette/die Unterhose an!
und dann:
Ich habe eine Unterhose an!
Bei der Kette aber sagt man wohl: Ich habe eine Kette um.
Entsprechend wird es wohl auch heißen:
Ich habe eine Uhr an.
oder
Ich habe eine Uhr um.
„Auf“ hat man meiner Ansicht nach nur Hüte, Kappen oder Mützen.
Dass bedeutet natürlich nicht, dass es in verschiedenen Regionen andere und vielleicht verschiedene Ausdrucksweisen für das Tragen von Uhren gibt.
Der „Ruhrpott“ birgt da oft Überraschendes, wenn solches zu sagen erlaubt.
Gruß Fritz