Hilfe für Aufgabe zur Stochastik

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo Mathematiker,

auf die Lösung folgendes Problems komme ich nicht. Es geht um Stochastik Jahrgangsstufe 13 (Mathe LK):

In einer Region sind 10% der Menschen allergisch gegen Birkenpollen.
In einer Arztpraxis warten n Personen, von denen genau 5 an einer Bierpollenallergie leiden. Zwei Personen werden zufällig ausgewählt. Die Wahrscheinlichkeit, dass darunter genau eine Person mit Birkenpollenallergie ist, beträgt 1/3. Wie viele Personen warten in der Arztpraxis?

Ich habe es schon mit der bedingten Wahrscheinlichkeit oder mit der Binomialverteilung versucht, jedoch ohne Erfolg.

Vielen dank für die Hilfe (Lösung am Besten)

mfg

#2

Hallo Gleichnamiger,

nix BV, nix bedingte Wsk, sondern http://de.wikipedia.org/wiki/Hypergeometrische_Verte…. Löse h(1|N, 5, 2) = 1/3 nach N auf (machbar, da nur quadratisch in N). Berechnung von h(k|N, M, n) siehe Wikipedia-Artikel. Die Angabe „In einer Region sind 10%…“ ist für diesen Teil der Aufgabe irrelevant. Zur Kontrolle: N = 25.

Reicht das?

Gruß
Auch Martin

#3

Hallo,

bei dem Szenario handelt es sich nicht um eine Binomialverteilung, da die „Erfolgswahrscheinlichkeit“ ja nicht konstant ist (unter den beiden gezogenen Stichproben).
Stattdessen handelt es sich um eine hypergeometrische Verteilung. Die Angabe, dass 10% der regionalen Bevölkerung allergisch ist, ist für diese Aufgabe übrigens irrelevant.
Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den zwei Stichproben genau ein Erfolg ist, ist definiert durch
P=\frac{{5 \choose 1} {n-5 \choose 1}}{{n \choose 2}}=\frac{1}{3}
Diese Binomialkoeffizienten können folgendermaßen umgeformt werden:
\frac{1}{3}=\frac{5*(n-5)*2}{n*(n-1)}
Die Lösung dieser Gleichung (6 und 25) entspricht den möglichen Anzahlen der Patienten.

Nico