Hilfe - Streckbriefaufgabe, stecke fest!

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

ich hänge gerade an einer Steckbriefaufgabe, die ich nicht lösen kann.

Sie lautet folgendermaßen: Der Graph einer Funktion 3. Grades hat einen Extrempunkt in E (-1/5) und den Wendepunkt W (1/3).

Hier meine bisherige Rechnung:

f(x)= ax³+bx²+xc+d
f’(x)= 3ax²+2bx+c
f’’(x)= 6ax+2b

E/ f’(-1)= 0
f’(-1)= 3a*(-1)²+2b*(-1)+c= 0
f’(-1)= 3a-2b+c=0

als normaler Punkt:
f(-1)=5
f(-1)=-1a+1b-1c+d=5

W/ f’’(1)= 0
f’’(1)= 6a+2b= 0

als normaler Punkt:
f(1)= 3
f(1)= 1a+1b+1c+d= 3

Im Anschluss habe ich die 2. und 4. Gleichung miteinander subtrahiert und kamm dann auf folgendes Ergebnis: -2a-2c= 2

Jetzt komme ich einfach nicht weiter - die Lösung muss folgende sein: f(x)= 0,125x³-0,375x²-1,125x+4,375

Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann. :stuck_out_tongue:

LG

#2

Hallo.

Der Ansatz ist schon mal richtig.

Im Endeffekt läuft es darauf hinaus, dass Du vier Gleichungen für vier Unbekannte hast, wollen wir also die vier Gleichungen noch einmal en bloc aufschreiben (in Klammern die Gleichungen durchnummeriert):

 -a + b - c + d = 5 (1)
  a + b + c + d = 3 (2)
 3a +2b + c     = 0 (3)
 6a +2b         = 0 (4)

(1) - (2):
 -a + b - c + d = 5 (1)
-2a     -2c     = 2 (2’)
 3a +2b + c     = 0 (3)
 6a +2b         = 0 (4)

(3) - (4):
 -a + b - c + d = 5 (1)
-2a     -2c     = 2 (2’)
 3a +2b + c     = 0 (3)
-3a     + c     = 0 (4’)

Wenn Du Dir nun (2’) und (4’) anschaust, wirst Du feststellen, dass Du nach einer Variablen auflösen kannst, dann entsprechend einsetzen und die anderen Gleichungen auflösen.

Viel Erfolg,
M.

#3

Der Ansatz ist völlig richtig - das Problem ist anscheinend nur beim Lösen des linearen Gleichungssystems? Aber auch da war der erste Schritt (2. und 4. Gleichung subtrahieren) ein guter Anfang.

Tipp: jetzt die 1. Gleichung und die neue, fünfte Gleichung (-2a-2c = 2) verwenden, um c loszuwerden - dann hat man zwei Gleichungen, in denen nur noch a und b steht, und dann ist’s ja wirklich einfach!

#4

Hallo, Du hast alles richtig gemacht. Zu der Gleichung -2a -2c = 2 oder auch -a -c = 1 erhältst Du eine weitere Gleichung, in der nur die Variablen a und c vorkommen, wenn Du Gleichung 1 und Gleichung 3 addierst, bei mir ergibt das 9a + c = 0. Jetzt kannst Du das System
-a -c = 1 und
9a + c = 0 nach a und c auflösen ( a = 1/8, c = -9/8) und schrittweise aus Gleichung 1 den Wert für b und aus GLeichung 2 den für d errechnen. Die Lösung kennst Du ja schon.

Gruß
Jobie

#5

f"(1)=6a+2b=0 => b = -3a
=> f’(-1)= 3a+6a+c=9a+c=0=> c=-9a
=> f(x)=ax^3-3ax^2-9ax+d
=> f(-1)=5a+d=5 und f(1) =-11a +a
Gleichungen subtrahieren
2=16a Rest simpel

#6

Ich kriege es einfach nicht hin… Ich komme auf falsche Ergebnisse. :S

#7

Ich komme immer auf das falsche Ergebnis… meine Nerven. :S

#8

Hallo,
du hast alles richtig gemacht, aber das Subtrahieren der 2. von der 4. Gleichung hätte ich nicht gemacht.
Ich gehe systematisch vor und setze die 3. Gleichung (3a+b=0 => b = -3a) in alle anderen ein:
1)9a+c=0
2)-4a-c+d=5
4)-2a+c+d=3
Jetzt habe ich 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten. Ich setze die 1. Gleichung (c = -9a) in alle anderen ein:
2)5a+d=5
4)-11a+d=3
Gleichung 4 von 2 subtrahiert ergibt: 16a=8 => a=1/8

Durch Einsetzen von a kannst du jetzt d ermitteln, dann c und b.

Das sukzessive Einsetzen einer Gleichung in alle anderen klappt immer, es ist nur meistens nicht so einfach wie hier.

#9

Hallo Neptunos,

machen wir es systematisch. Wir kommen auf folgendes Gleichungssystem:
3a - 2b + c = 0 (I)
-a + b -c + d = 5 (II)
6a + 2b = 0 (III)
a + b + c + d = 3 (IV)
_________________________
Dann machen wir Deinen zweiten Schritt, nämlich II - IV und wir erhalten das neue Gleichungssystem:
3a - 2b + c = 0 (V)
6a + 2b = 0 (VI)
-2a - 2c = 2 (VII)
_______________________
Mit diesem Gleichungssystem, das nur noch drei Variablen enthält, machen wir weiter, und zwar V + VI:
9a + c = 0 (VIII)
-2a - 2c = 2 (IX)
__________________
Das Gleichungssystem hat nun nur noch zwei Variable. Wir nehmen nun 2*VIII + IX und erhalten:
16 a = 2
Nun haben wir das Gleichungssystem auf eine Variable reduziert und wir können a ausrechen. Es ergibt sich:
a = 1/8
Diesen Wert setzen wir in das 2-er System ein, z.B. in Gleichung IX:
-1/4 - 2c = 2 |+ 1/4
-2c = 2 1/4 |:frowning:-2)
c = - 1 1/8
a und c setzen wir anschließend in eine der Gleichungen aus dem 3er-System ein, z.B. in VI (hier muss nur a eingesetzt werden, da c garnicht vorkommt).
Es ergibt sich:
6/8 + 2b = 0 |-6/8
2b = -6/8 |:2
b = -3/8
Zu guter letzt setzen wir a, b und c in eine der Gleichungen des allerersten Systems ein, in der d vorkommt, z.B. in Gleichung IV. So haben wir:
1/8 - 9/8 - 3/8 + d = 3 | +11/8
d = 35/8
d = 4 3/8

Insgesamt ergibt sich somit:
f(x) = 1/8 x^3 -3/8 x^2 - 9/8 x + 35/8
Die Brüche entsprechen als Dezimalzahlen genau Deinem Ergebnis.
Viele Grüße
funnyjonny

#10

VIELEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEN DANK!!! Ich habe es endlich verstanden. Mein Gott, seit 15 Uhr sitze ich bereits an der Aufgabe. DAAANKE!!! :smiley:DD

GLG

#11

Ich habe es gerade mal durchgerechnet - auch ich komme nicht auf Dein Ergebnis…

Hier eine ganz ganz „umständliche“ Rechnung:
-a + b - c + d = 5 (1)
a + b + c + d = 3 (2)
3a +2b + c = 0 (3)
6a +2b = 0 (4)

(1) + (2)
3*(1) + (3)
6*(1) + (4)
-a + b - c + d = 5 (1)
2b +2d = 8 (2’)
5b -2c +3d = 15 (3’)
8b -6c +6d = 30 (4’)

5*(2’) + (-2)(3’)
4*(2’) + (-1)(4’)
-a + b - c + d = 5 (1)
2b +2d = 8 (2’)
4c +4d = 10 (3’’)
6c +2d = 2 (4’’)

3*(3’’) + (-2)*(4’’)
-a + b - c + d = 5 (1)
2b +2d = 8 (2’)
4c +4d = 10 (3’’)
8d = 26 (4’’’)

=> d = 13/4
in (3’’): 4c + 13 = 10
=> c = -3/4
in (2’): 2b + 13/2 = 8
=> b = 3/4
in (1): -a + 3/4 + 3/4 + 13/4 = 5
=> a = -1/4

Eingesetzt in die Gleichungen passt alles - möglicherweise ist Deine Musterlösung falsch?

Ich komme immer auf das falsche Ergebnis… meine Nerven. :S

#12

Ich bin dank einem User auf die Lösung gekommen, die Musterlösung ist nicht falsch. =)

Hier sein Text:
Hallo Neptunos,

machen wir es systematisch. Wir kommen auf folgendes Gleichungssystem:
3a - 2b + c = 0 (I)
-a + b -c + d = 5 (II)
6a + 2b = 0 (III)
a + b + c + d = 3 (IV)
_________________________
Dann machen wir Deinen zweiten Schritt, nämlich II - IV und wir erhalten das neue Gleichungssystem:
3a - 2b + c = 0 (V)
6a + 2b = 0 (VI)
-2a - 2c = 2 (VII)
_______________________
Mit diesem Gleichungssystem, das nur noch drei Variablen enthält, machen wir weiter, und zwar V + VI:
9a + c = 0 (VIII)
-2a - 2c = 2 (IX)
__________________
Das Gleichungssystem hat nun nur noch zwei Variable. Wir nehmen nun 2*VIII + IX und erhalten:
16 a = 2
Nun haben wir das Gleichungssystem auf eine Variable reduziert und wir können a ausrechen. Es ergibt sich:
a = 1/8
Diesen Wert setzen wir in das 2-er System ein, z.B. in Gleichung IX:
-1/4 - 2c = 2 |+ 1/4
-2c = 2 1/4 |:frowning:-2)
c = - 1 1/8
a und c setzen wir anschließend in eine der Gleichungen aus dem 3er-System ein, z.B. in VI (hier muss nur a eingesetzt werden, da c garnicht vorkommt).
Es ergibt sich:
6/8 + 2b = 0 |-6/8
2b = -6/8 |:2
b = -3/8
Zu guter letzt setzen wir a, b und c in eine der Gleichungen des allerersten Systems ein, in der d vorkommt, z.B. in Gleichung IV. So haben wir:
1/8 - 9/8 - 3/8 + d = 3 | +11/8
d = 35/8
d = 4 3/8

Insgesamt ergibt sich somit:
f(x) = 1/8 x^3 -3/8 x^2 - 9/8 x + 35/8
Die Brüche entsprechen als Dezimalzahlen genau Deinem Ergebnis.
Viele Grüße
funnyjonny … mehr auf http://www.wer-weiss-was.de/app/query/display_query?..

#13

Ok, dann muss ich mich irgendwo vertan haben :wink:

#14

na prima , Neptunos

mit 3a-2b+c=0 (I)
6a+2b= 0 bzw. 2b=-6a (II)
-2a-2c= 2 bzw c= -a-1 (III)
hat Du nur noch drei Gl mit drei Unbekannten. Setze (III)und (II) in (I) ein und du bekommst
3a + 6a -a -1 = 0 und damit a = 0,125. Dieser Wert in (II) eingesetzt liefert Dir b=-0,375 und a in (III) eingesetzt liefert Dir c= - 1,125. Damit kriegst Du d über irgendeine Gleichung, in der d vorkommt, selber heraus.
Gruß von Max

#15

Hallo,

wenn du die Gleichungen 2 und 4 addierst, ergibt sich
2b + 2d = 8 und damit b + d = 4
in Gl. 4 eingesetzt: a + c = 1
Jetzt addierst du Gl. 1 und 3: 9a + c = 0
Jetzt hast du mit der Gleichung drüber ein Gleichungssystem zwei Gl. und zwei Unbekannte.
a = -1 - c, also 9 (-1 - c) + c = 0 => -9 - 8c = 0
c = -9/8 = -1,125
a = -1 +1,125 = 0,125
Aus Gl. 3: 3a + b = 0 => b = -3a
b = -3,375
b + d = 4 (s. o.)
d = 4 + 3,375 = 7,375

Gruß
Martin

Rechen-, Denk-, Schreib- und Leichtsinnsfehler vorbehalten :smile:

#16

Hallo Neptun! Zu deiner Aufgabe: du hast eigentlich gut angefangen, aber es ist viel einfacher, obwohl…wir stellen ein System mit 4 Gleichungen und 4 Unbekannten auf, welches ja bekanntermaßen eindeutig lösbar sein muß. Bis man alle a, b, c, d rausgefunden hat, muß man ein bißchen rumtüfteln und rumhantieren.
E als normaler Punkt in die Funktionsgleichung eingesetzt ergibt:
(1)a*(-1)hoch3 + b*(-1)hoch2 + c*(-1) + d = 5,
also (1) -a+b-c+d=5
Das gleiche passiert beim Einsetzen von W, ergibt
(2) a+b+c+d=3
Wie du weißt, beim Einsetzen vom X-Wert vom E muß die erste Ableitung (ist bei dir richtig)gleich 0 sein,ergibt:
(3) 3a-2b+c=0
Und beim Einsetzen des X-Wertes vom W muß ja die zweite Ableitung (bei dir ebenfalls richtig) gleich 0 sein, also:
(4) 6a+2b=0
So, wir sehen lauter gleiche Koeffizienten, die sich ja beim Addieren oder Subtrahieren eliminieren.
(1)+(2), durch 2 gekürzt, ergibt b+d=4
dies in (2) eingesetzt, ergibt wiederum a+c=-1 (soweit warst du schon);
(3)+(4) ergibt 9a+c=0, dann
9a+c=0 und a+c=-1 ergeben durch Subtraktion 8a=1, daraus erste Lösung a=1/8 = 0,125, c ist dann automatisch c=-1 1/8 = -1,125, diese zwei in (3) eingesetzt ergibt b=-3/8= -0,375, und mithilfe von b+d=4 hast du letztendlich d=4 3/8= 4,375. E voila! War mir eine Freude, Dir helfen zu können, liebe Grüße, Simon.

#17

Deine 4 Gleichungen sind okay.
Das Gleichnungssystem
3a-2b+c =0
-1a+1b-1c+d=5
6a+2b= 0
1a+1b+1c+d= 3

löst du nach einem beliebigen Verfahren (Addition; Einsetzung; Gleichsetzung;Matrizen; …) und erhältst
a = 1/8
b = -3/8
c = -9/8
d = 35/8

Gruß W.

#18

hat sich wohl erledigt . . .