Hey Leute,
bin Anfang meines Chemiestudiums und habe mit der Surjektivität, Injektivität und Bijektivität von Funktionen zu tun. Nun ist meine Frage: Wie beweise ich ob eine Funktion eines der Eigenschaften entspricht?
Die Definitionen sind mir klar, nur weiss ich ncht wie man da rangehen soll, also ein Schema…kann mir da einer weiterhelfen?
Danke
Hallo,
okay, ganz schön viel für Fernschriftliches, aber ich versuch’s mal…
Als erstes geb ich mal die Definitionen so, wie ich sie mir merke, und schreib besser gleich dazu, was mathematisch nicht (ganz) korrekt ist:
Injektivität: Zu jedem Bild gibt es höchstens ein Urbild.
Surjektivität: Zu jedem Bild gibt es mindestens ein Urbild.
Bijektivität: Beides zusammen.
Beispiel: Die Funktion f: R+ –> R+, f(x)=x², ist bijektiv. Ändere ich die Urbildmenge ab (f: R –> R+), so ist sie surjektiv (zu jeder positiven ganzen Zahl z gibt es mindestens ein x mit f(x)=z), aber nicht mehr injektiv (die Zahl 1 besitzt die Urbilder 1 und –1). Ändere ich hingegen die Zielmenge (f: R+ –> R), so ist meine Funktion injektiv (ich finde zu jedem z höchstens eine positive Zahl x mit f(x)=z, nämlich die Wurzel aus z), aber nicht mehr surjektiv, da z.B. –1 kein Urbild besitzt. [Damit ist –1 auch kein Bild – das ist die mathematische Schludrigkeit in meiner Definition von Surjektivität!] Ist schließlich f: R –> R, f(x)=x², so ist die Funktion weder injektiv noch surjektiv.
Aber das wusstest Du ja eh schon.
Im Folgenden bleibe ich bei diesen Beispielen, wobei ich die Funktionen der Reihe nach a, b, c und d nenne; eine beliebige Funktion jedoch weiterhin f, damit es nicht zu Verwechslungen kommt.
Wir wollen die Injektivität beweisen, also zeigen, dass es zu jedem Bild höchstens ein Urbild gibt. Wie im richtigen Leben gehen wir erst mal vom Schlimmsten aus – das nennt sich dann „Beweis durch Widerspruch“ oder „indirekter Beweis“ –, nämlich dass es doch zwei (oder noch mehr?!) Urbilder für irgendein Bild gibt.
Wir nehmen also ein Bild her, nennen wir es z, und seine möglicherweise zahlreichen Urbilder x1, x2,… (zwei reichen uns ja schon). Es gilt also f(x1)=z=f(x2), und nun können wir die Funktionsgleichung einsetzen, in unseren Beispielen also
x12=x22 Wurzel(x12)=Wurzel(x22)
|x1|=|x2|
x1=±x2.
Bei den Funktionen a und c können wir weiter folgern, dass x1=x2 ist, also die „beiden“ Urbilder doch gleich sein müssen; bei b und d hilft uns diese Rechnung, ein Gegenbeispiel zu finden, falls uns vorher keines einfiel (hier eben z.B. „Die Argumente +1 und –1 liefern beide denselben Funktionswert 1.“).
Nun zur Surjektivität: Da müssen wir versuchen, zu einem gegebenen Element der Zielmenge ein Urbild zu finden, quasi eine „Umkehrfunktion“. Machen wir’s ganz klassisch:
z=x²
x=±Wurzel(z).
Bei den Funktionen a und b haben wir gar kein Problem, wir wählen einfach x=+Wurzel(z) und alles ist gut. Bei c und d kann z aber auch negativ sein, und da ist die Wurzel nicht reell. Also half uns die Rechnung wieder, ein Gegenbeispiel zu finden: z=–1 besitzt kein Urbild.
Und nun haben wir auch schon gezeigt, dass a bijektiv ist, während b, c und d es nicht sind.
Ich hoffe, helfen gekonnt zu haben.
Liebe Grüße,
Immo
Noch ein P.S. zur Surjektivität: Manchmal ist es nicht ganz leicht, Umkehrfunktionen zu finden. Nehmen wir z.B. f(x)=–x5+3x³–x²–12 von R auf R. Da eine Umkehrfunktion zu suchen wäre sicherlich nicht von Erfolg gekrönt. Aber wir sehen, dass f stetig ist (also keine Lücken oder Polstellen hat), dass f(–∞)=∞ und f(∞)=–∞ ist, und nach dem Zwischenwertsatz muss f dann surjektiv sein.
Und noch ein P.P.S. zur Injektivität: Auch die wäre bei obiger Funktion schwer zu Prüfen, aber wenn sich ein lokales Maximum oder Minimum findet, dann kann die Funktion auch nicht injektiv sein. Bei der obigen Funktion sehen wir ein lokales Maximum bei x=0, also nix mit injektiv.