Hochschule und Mathematik - Funktionen u.ä

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,
ich habe verschiedene Fragen zum Thema Mathe von Hochschulen, genauer gesagt verstehe ich ein paar Sachen nicht.

  1. Was genau bedeutet Differenzierbarkeit, ich verstehe lediglich darunter das man die Funktionen ableiten und integrieren kann, also das garantiert ist das das funktioniert. Ist das wirklich alles oder gehört da noch mehr dazu?
    bspw. gibt es ja auch diese Funktion (Mittelwertsatz der Differenzialrechnung) :
    f’(x0) = ( f(a) - f(b) ) / ( a - b )
    Wozu genau ist die gut und wann benutzt man die, oder geht das auch anders?

Dazu gibt es ja auch eine Ähnliche Funktion um einen Grenzwert zu berechnen:
f’(x0) = ( f(x) - f(x0) ) / ( x - x0 )
Wie man sieh anwendet ist jetzt nicht das Problem sondern eher wo der Unterschied zur oberen Funktion liegt und wann man sie einsetzt? Man muss diese ja so umformen das man nicht durch 0 teilt bzw. so umformen das sie definierbar wird.

Wenn mir da eimal weitergeholfen werden könnte waäre das echt toll.

Gruß Felix

#2

Hallo,

eine Funktion ist differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt differenzierbar ist. Eine Funktion ist im Punkt x0 differenzierbar, wenn der Grenzwert lim (f(x)-f(x0)) / (x-x0) für x->0 existiert und <oo (unendlich) ist.

Mittelwertsatz setzt Differenzierbarkeit voraus.

#3

Ist dann also meine Behauptung, dass damit lediglich garantiert ist ab- und aufleiten zu können, richtig?

#4

Ja, das folgt daraus.

Ich hatte übrigens Stetigkeit vergessen, eine Funktion ist differenzierbar im Punkt x0, wenn sie in x0 stetig ist und der Grenzwert …

#5

Und wie sieht das mit dem Unterschied aus zwischen den angegebenen Funktionen? Bzw. wann setzt man beide Funktionen ein, gibt es da irgendeine Regel wann man die einsetzen muss?

#6

Verstehe ich nicht, es gibt nur eine Funktion, f.

#7

Hallo!

Der Mittelwertsatz der Differenzialrechnung besagt:

Wenn f(x) eine im Intervall [a,b] stetige und differenzierbare Funktion ist, dann gibt es (mindestens) einen Wert x0, für den f’(x0)=( f(b) - f(a) ) / (b-a) gilt

Anschaulich: Wähle zwei Punkte auf der Kurve der Funktion, und ziehe eine Grade durch. Dann hat die Kurve an mindestens einer Stelle zwischen den Punkten eine Tangente, die parallel zu der Graden ist.
Du kannst ja mal versuchen, eine Kurve zu zeichnen, für die das nicht gilt. Du wirst merken, das geht nur, indem du Sprünge zulässt (=nicht stetig), oder Haken schlägst (=nicht differenzierbar)

Hier geht es nicht darum, eine Ableitung zu bilden, und die Formel ist auch nicht gültig, solange man nicht dazu sagt: „Es gibt ein x0 aus ]a,b[, für das gilt…“

Natürlich kannst du jetzt sowohl a als auch b gegen ein x0 laufen lassen, der Grenzwert ist dann die Ableitung an der Stelle. Das ist aber etwas mühsam.

Mit f’(x0) = limx->x0( f(x) - f(x0) ) / ( x - x0 ) setzt du den einen Punkt direkt an die Stelle x0, für die du die Ableitung wissen willst, und lässt dann x gegen diesen Wert laufen.
Beachte: Auch hier ist deine Formel nicht gültig. Hier geht es um die konkrete Berechnung, daher musst du hier eben den limes dran schreiben, denn die linke Seite ist der Grenzwert der rechten.

Vorsicht: Eine differenzierbare Funktion kannst du auch integrieren, aber das ist kein notwendiges Kriterium. Beispiel:
f(x)= für x<0: 0; sonst: 1
Durch den Sprung bei x=0 ist die Funktion dort nicht differenzierbar, mit dem Integrieren gibt es aber kein Problem:
F(x)= für x<0: 0 sonst: 1/2x²
Die Stammfunktion ist nebenbei stetig und differenzierbar (aber nicht stetig differenzierbar, das ist was anderes)

#8

Hallo Felix,
oben hat @hroptatyr erklärt, wann eine Funktion differenzierbar ist. Dazu ein Wort der Warnung: Differenzierbarkeit bedeutet, dass die Ableitung existiert. Das erklärt aber noch nicht, wie man konkret eine Ableitung ausrechnet. Im Grenzwert hat @hroptatyr sich minimal verschrieben, richtig ist lim (f(x)-f(x0)) / (x-x0) für x->x0.

Weiter schreibst du vom aufleiten. Das Wort wird in der Schule oft gebraucht, aber niemals an der Hochschule. Wenn man eine Funktion „aufleiten“ kann, dann sagt man, sie sei „integrierbar“. Die Integrierbarkeit wird aber über Obersummen und Untersummen auf Partitionen definiert. Jede differenzierbare Funktion ist integrierbar, aber nicht jede integrierbare Funktion ist differenzierbar.

Wenn du mehr über das Differenzieren und Integrieren erfahren möchtest, ist ein Buch mit dem Titel Analysis 1 eine gute Anlaufstelle. Die folgenden Bücher erklären das auf dem Niveau des Studienanfängers, sind also mehr oder weniger mit solidem Schulwissen zugänglich.

PS. Tatsächlich gibt es verschiedene Wege, Integrale zu definieren. Man lernt in der Schule den Weg von Riemann. Darum sind die Funktionen, die du als „integrierbar“ kennenlernst, genau genommen riemannintegrierbar. Daneben gibt es noch zahlreiche andere Integrierbarkeiten, z.B. von Lebesgue und Stieltjes. Das ist dann die Fortsetzung im zweiten oder dritten Semester.

Liebe Grüße
vom Namenlosen

#9

Erstmal danke für die Antwort, das aufleiten benutze ich meistens nur aus Faulheit, das es streng genommen integrieren heißt ist mir schon bewusst, außerdem bin ich ja im Studium. Hat sich wohl nicht so ganz rauskristallisiert als ich Hochschule geschrieben habe… sorry deswegen.

#10

Du kannst die Stetigkeit weglassen, das ist doppelt.
Die Funktion f ist in x0 differenzierbar, wenn der Grenzwert
[f(x)-f(x0)] / (x-x0) existiert.

Als Folge ist die Funktion dann auch in x0 stetig, dies muss man nicht extra prüfen.

#11

Naja mit „aufleiten“ und „integrieren“ meint ja auch in der Schule zwei verschiedene Dinge.
In der Regel geht es beim „Aufleiten“ ja darum eine Stammfunktion anzugeben,
Das hat mit den verschiedenen Definitionsmöglichkeiten für bestimmte Integrale noch nicht direkt was zu tun.

#12

Da wir es ja sehr genau nehmen:

Es muss ein Grenzwert existieren für x<x0, und für x>x0, und beide Grenzwerte müssen gleich sein.

Paradebeispiel: f(x)=|x| im Ursprung. Der Grenzwert ist einmal -1 und einmal +1, daher ist die Funktion nicht differenzierbar.

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#13

Verstehe den Beitrag jetzt nicht so ganz.
Das ist ja nicht „genauer“, sondern einfach äquivalent.

Willst Du darauf hinaus, dass man z.B. bei Funktionen die auf Intervallen definiert sind, die Randpunkte beachten muss? Wenn f z.B. eine Funktion vom abgeschlossenen Intervall [a,b] nach IR ist, dann kann man ja schlecht den Grenzwert für x->a bzw. x->b betrachten?

Hier könnte man dann „linksseitige oder rechtsseitige Differenzierbarkeit“ betrachten.
Für irgendwelche Sätze liest man dann ja auch oft: „Sei f auf [a,b] stetig und auf (a,b) differenzierbar, dann …“

Der Hinweis, dass Differenzierbarkeit in der Regel nur für innere Punkte des Definitionsbereiches definiert ist, ist sehr gut. Das Beispiel einer nicht differenzierbaren Funktion finde ich hier aber verwirrend.