Liebes Forum,
ich möchte etwas beweisen, was optisch logisch ist, und zwar, dass ein Dreieck ABC genau dann spitzwinklig ist, wenn
Hallo auch,
Die drei Eigenschaften gelten auch für rechtwinklige Dreiecke, die sind aber nicht spitzwinklig. Das „genau dann wenn“ ist nicht erfüllt.
Nehmen wir „spitzwinklig oder rechtwinklig“ an - mit welchen Mitteln soll der Beweis denn geführt werden?
Konstruktiv? Analytisch?
Wenn ein Winkel CAB stumpf ist, dann liegt das Lot von B auf die Gerade CA außerhalb der Strecke CA. Liegt das Lot auf der Strecke, ist der Winkel also nicht stumpf.
Wenn das für alle drei Winkel des Dreiecks erfüllt ist, ist folglich jeder Winkel des Dreiecks <= 90°
Gruß,
KHK
Hallo KHK,
Die Endpunkte zählen kaut unserer Definition nicht dazu, nur die Zwischenpunkte. Der Beweis soll elementargeometrisch geführt werden.
LG
Catrin
Es genügt, daß 2 Höhenfußpunkte innerhalb der zugehörigen Dreiecksseiten liegen. so daß das Dreieck spitzwinklig ist.
Sei H< ∈ ]AB[
(d.h. Der Fußpunkt der Höhe auf Seite c liegt innerhalb der Strecke AB, aber liegt weder auf A noch auf C, rechte Winkel seien also ausgeschlossen)
Dann sind beide Winkel α und β < 90°. Beweis einfach, weil die Höhe per def orthogonal auf der Seite steht.
Wenn nun zusätzlich ein weiterer Fußpunkt auf seiner zugehörigen Dreieckseite steht, z.B.
Hb ∈ ]AC[
dann ist außer α und β auch γ < 90°
Außerdem liegt ja der Höhenschnittpunkt dann innerhalb des Dreiecks. Im Hühehnschnittpunkt schneiden sich immer alle drei Höhen. Also liegt auch der dritte Höhenfußpunkt auf der Seite a:
Ha ∈ ]CB[
Umgekehrt genügt es für ein stumpfwinkliges Dreieck, daß ein einziger Hühenfußpunkt außerhalb der zugehörigen Strecke liegt. Wenn
Hc ∉ [AB]
⇒
Hb ∉ [AC] aber Ha ∈ ]CB[
oder
Ha ∉ [CB] aber Hb ∈ ]CA[
D.h. der Hühenschnittpunkt liegt außerhalb der Dreiecks, es liegt nie nur 1 Höhenfußpunkt außerhalb der Seiten, sondern immer 2, und 1 Höhenfußpunkt liegt immer auf seiner zugehörigen Seite.
Gruß
Metapher
Danke, das hat mir sehr geholfen.
Ich habe die eine Richtung indirekt über die Annehme geführt, dass das Dreeick nicht spitzwinklig ist und dann die Fälle für rechtwinklig und spitzwinklig getrennt zum Widerspruch geführt. Dass eine Seite nicht den Höhenfußpunkt enthält reicht dabei bereits.
Für die andere Richtung bin ich vom spitzwinkligen Dreieck ausgegangen, habe pro Seite in den Endpunkten rechte Winkel konstruiert, dann die Parallele zur Seite durch den dritten Punkt konstruiert und die Lage dieses Punktes zu den entstehenden Schnittpunkten beschrieben. Dass der Lotfußpunkt des Lotes durch diesen Punkt auf die Seite ein Zwischenpunkt dieser Seite (Strecke) ist, folgt dann.
Herzliche Grüße
Catrin
Dieses Thema wurde automatisch 30 Tage nach der letzten Antwort geschlossen. Es sind keine neuen Nachrichten mehr erlaubt.