Für welchen Wert von t hat das lineare Gleichungssystem genau eine Lösung?
x1 = tx1 | - tx1
x2 + 2 x3 = tx2 | - tx2
2 x2 - 2 x3 = tx3 | - tx3
Ich bekomme diese Aufgabe einfach nicht hin, kann mir bitte jemand die Lösung geben und am besten auch den Rechenweg.
danke 
Hallo Ginaaa,
es tut mir leid, ich verstehe die Notation nicht. Was sind das für Striche auf der rechten Seite, neben denen -tx1, -tx2 bzw. -tx3 steht? Gehört das zur Aufgabe oder ist das schon Teil des Lösungsversuchs?
Viele Grüße,
Stefan
Hm, die Aufgabenstellung kommt mir seltsam vor… ich würde erwarten, dass es nicht nur einen solchen Wert für t gibt, sondern unendlich viele… mal rechnen.
Die erste Gleichung ist erst mal (1 - t) x1 = 0. Das hat für alle Werte von t genau eine Lösung - ausser für t = 1, dann gibt es unendlich viele Lösungen. Schliessen wir den Wert t = 1 im Folgenden also aus. Für t ungleich 1 ist die Lösung immer x1 = 0.
Die zweite Gleichung ist (1 - t) x2 + 2 x3 = 0, die dritte ist 2 x2 - (2 + t) x3 = 0. Da muss man erst mal eine Variable eliminieren (rausschmeissen), welche, kann man sich aussuchen. Ich nehme mal x2.
Multipliziere also die zweite Gleichung mit 2, die dritte mit (1 - t) (das darf man machen, weil ja t ungleich 1 ist, also (1 - t) ungleich 0!); das gibt
2 (1 - t) x2 + 4 x3 = 0
2 (1 - t) x2 - (2 - t - t^2) x3 = 0
Dann die zweite Gleichung von der dritten subtrahieren, damit x2 rausfällt; es bleibt
(t^2 + t - 6) x3 = 0
Diese Gleichung hat immer eine Lösung, ausser, die Klammer ist gleich Null (dann gibt es unendlich viele Lösungen). t^2 + t - 6 = 0 führt auf t = 2 oder t = -3; für diese beiden Werte von t gibt es also auch keine eindeutige Lösung. Schliessen wir diese beiden Werte also auch aus; dann ist x3 = 0.
Eingesetzt z. B. in die dritte Gleichung bleibt dann
2x2 = 0, also x2 = 0.
Ergebnis: wenn t weder gleich 1 noch gleich 2 noch gleich -3 ist, dann hat das LGS genau eine Lösung (nämlich x1 = x2 = x3 = 0); wie erwartet gibt es also unendlich viele Werte von t, für die das gilt.
Alternativ könnte man die Aufgabe auch mittels einer Determinante lösen - keine Ahnung, ob ihr das im Unterricht behandelt habt…? Man braucht die Determinante der Koeffizientenmatrix, also von
(1-t 0 0)
(0 1-t 2)
(0 2 -2-t)
Die Determinante dieser Matrix ist (1-t) (t^2 + t - 6). Dies ist Null (dann hat das LGS keine eindeutig Lösung), wenn t = 1 ist oder t = 2 oder t = -3; also selbes Ergebnis wie oben.
t=1
ich kürze ab: x1=x , x2=y x3=z Dann sieht das System so aus: (1-t)x =0
(1-t)y -2z =0
2y+z(-2-t)=0
ist t=-2, so steht in der letzten Zeile nur 2y=0, also y=0 . Eingesetzt in die mittlere Zeile : -2z=0, also z=0. Alles eingesetzt in oberste Zeile: 3x=0, also x=0.
Fazit: Ist t=-2, so hat das System die eindeutige Lösung x=0, y=0, z=0
Gruß von Max
Hi Ginaaa,
hab im Moment leider keine Zeit, mich da rein zu denken. Aber vielleicht hilft Dir der Link hier:
http://www.youtube.com/watch?v=tcjg7UiAA1Q
Freundliche Grüße. Anja Riemann
Hallo.
Nun, zunächst solltest Du das GLS genau so rechnen, wie Du es üblicherweise rechnen würdest.
Also:
(1-t)x1 = 0
(1-t)x2 + 2x3 = 0
2x2 + (-2-t)x3 = 0
Die erste Gleichung:
für t 1 gilt immer: für x1=0 ist die Gleichung erfüllt. Im Umkehrschluss: für t=1 gibt es beliebig viele x1, so dass die Gleichung gilt, also nicht eindeutig.
Zur zweiten und dritten Gleichung:
nur wenn sich die zweite und dritte Gleichung aufheben, kommst Du zu keinem eindeutigen Ergebnis.
Da gehst Du auf dem üblichen Weg vor und eleminierst x2 oder x3.
Wenn ich richtig rechne, darf t Werte ungleich 1, 2 und -3 annehmen (dann bekommst Du unendlich viele Lösungen) - in allen anderen Fällen erhältst Du jeweils die eindeutige Lösung x = (0, 0 ,0).
Allerdings finde ich die Aufgabenstellung etwas unglücklich, da dort aus meiner Sicht von expliziten t ausgegangen wird und nicht von einer Menge…
Hallo,
zur Klärung müsste ich wissen, was der senkrechte Strich | bedeuten soll. Ist es ein Bruchstrich? Oder soll es die nächste Rechenoperation sein?
Viele Grüße
funnyjonny
Also die Aufgabe ist irgendwie sinnlos, finde ich.
Fangen wir mit der ersten Gleichung an.
Hier gibt es einen Fallunterschied:
Ist x1 = 0, so ist t = beliebig
Ist x1 = beliebig, so ist t = 1
Damit können wir t = 1 als Lösung ausschließen, da x1 ja dann irgendwas sein kann und nicht mehr genau einen wert hat.
Gleichung 2:
x2+ 2 x3 = t x2
x2 - t x2 + 2x3 = 0
(1 - t)x2 + 2x3 = 0
(1 - t)x2 = -2x3
-0.5(1 - t)x2 = x3
Einsetzen in Gleichung 3:
2 x2 - 2 x3 = t x3
2 x2 - 2 (-0.5(1 - t)x2) = t(-0.5(1-t)x2)
2x2 + (1-t)x2 = -0.5t(1-t)x2
Hier können wir wieder unterscheiden:
Für x2 = beliebig können wir x2 kürzen.
2 + (1-t) = -t(1-t)
3 - t = -0.5t + 0.5t^2
3 = 0.5t + 0.5t^2
6 = t+ t^2
t^2 + t - 6 = 0
Jetzt könnten wir die Mitternachtsformel anwenden:
t1/2 = (-1 ± WURZEL(1^2 - 4*1*-6))/2*1
t1/2 = (-1 ± 5)/2
t1 = 2 ; t2 = -3
Sprich für t = {-3;1;2) gibt es unendlich viele Lösungen. Für alle anderen t, gibt es genau eine Lösung.
x1 = 0 ; x2 = 0; x3 = 0
Jetzt macht die Aufgabe sogar etwas Sinn ^^.
Hoffe es ist alles klar?
x1 = tx1 | - tx1
x2 + 2 x3 = tx2 | - tx2
2 x2 - 2 x3 = tx3 | - tx3
Ich versteh die Angabe nicht ganz. Für 3 Unbekannte x1, x2 und x3 brauchst du 3 Gleichungen. Das sind wohl die drei untereinander. Aber was bedeeutet der Strich danach | meinst du geteilt durch also Bruchstrich oder was?
wenn nicht, dann läuft’s so:
in 3. einsetzen und prüfen:
2*0 - 2*0 = t*0
0=0 passt die Lösung ist also (0|0|0)