hi,
Ein Hotel am Rand des Universums besitzt eine unendliche
Kapazität an Zimmern.
tja … das ist nicht eindeutig. wie viele sinds? kann man sie abzählen, indem man jedem zimmer eine natürliche zahl zuordnet? oder geht das nicht?
Der Eigentümer beabsichtigt nun, zwei
zusätzliche Räume anzubauen.
Der Partner will ein besseres Hotel bauen und kündigt seine
Stellung.
Er verspricht ein noch grösseres Hotel, das immer genug Platz
hat.
Wie macht er das?
Das Einfachste ist, alle Zimmer in der Mitte zu teilen, sodass
jeweils zwei kleinere Zimmer entstehen. Schliesslich sind die
Zimmer relativ gross, wie es sich für ein Hotel Unendlichkeit
gehört.
Die Bewohner der Zimmer 1 und 2 ziehen in die Zimmer 1a und
2a, sodass die Zimmer 1b und 2b für weitere Gäste frei
bleiben.
Damit hat er doppelt so viele freie Zimmer als der Eigentümer
des alten Hauses.
Der Eigentümer lässt sich das nicht gefallen und geht vor
Gericht mit der Behauptung:
Es ist grundsätzlich unmöglich, mehr als unendlich viel von
irgend etwas zu besitzen.
Wer hat Recht? Welche Entscheidung muss die
Wettbewerbsaufsicht fällen?
also: offenbar kann man die zimmer abzählen. halten wir das fest.
„doppelt so viele“ und „gleich viele“ ist nun für unendliche mengen kein widerspruch. unendliche mengen zeichnen sich gerade dadurch aus, dass es „echte teilmengen gleicher größe“ gibt. (die primzahlen sind z.b. eine echte teilmenge der natürlichen zahlen; trotzdem kann man jede primzahl umkehrbar eindeutig einer natürlichen zahl zuordnen:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ...
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 ...
)
an der behauptung (dass es grundsätzlich unmöglich sei, mehr als unendlich viel von irgend etwas zu besitzen) ist trotzdem einiges nicht korrekt. (die unendliche wettbewerbsaufsicht sollte einschreiten!, meine ich.) wie wir wissen, gibt es bekanntlich in der nähe von deinem hotel am rand des universums (rund um die ecke, und dann ein paar lichtjahre gradaus und dann scharf links) ein volk von sehr kleinen intelligenten lebewesen, die sich alle nach den zahlen im intervall [0;1] nennen, und zwar schaffen sie es, alle zahlen zu verwenden, ohne dass auch nur eines von ihnen 2 namen trägt. so viele sind sie. und die, lieber beat, kann keiner der beiden hoteliers in seinen hotels unterbringen, wenn jedes ein eigenes zimmer will. dazu sind beide hotels (das um 2 zimmer vermehrte und das verdoppelte) wesentlich zu klein.
ja, es gibt verschiedene formen von unendlichkeiten (= ja, es sind verschiedene formen von unendlichkeiten denkbar). es ist sogar so, dass es unendlich viele verschiedene formen von unendlichkeiten gibt. denn du kannst zu jeder unendlichen menge die menge ihrer teilmengen bilden. und man kann beweisen („cantorsches zweites diagonalverfahren“), dass jede menge aller teilmengen einer menge wesentlich „größer“ („mächtiger“) als die menge selbst ist.
ob für die kleinen intelligenten lebewesen mit den namen aus [0;1], für die die 2 hotels am rande des universums nicht reichen, ein hotel ausreicht, das so viele zimmer wie teilmengen der natürlichen zahlen hat, ist so nicht absolut klärbar. man kann das annehmen, ohne dass die mathematik gestört wäre. man kanns aber auch ablehnen, ohne dass die mathematik gestört wäre.
tja …
m.
Für die anderen, die noch mehr von diesem sonderbaren Hotel erfahren möchten: Der Eigentümer des Hotels (oder sein Partner?) heißt Hilbert: