Hüllenintegral im Vektorfeld

Wissenschaft Physik
#1

Hallo Freunde der Mathematik!

Die unten aufgeworfene Frage mag sich simpel anhören, hat aber doch weitreichende Konsequenzen. Ich wäre deshalb dankbar für profunde Antworten, möglichst auch von studierten Mathematiken, die Ahnung von Vektoranalysis haben.

Also:

Sei G ein dreidimensionales Raumgebiet, das durch eine Hüllfläche F begrenzt wird, in einen Vektorfeld v. Die Hüllfläche kann z.B. (der Einfachheit halber) eine Kugelfläche sein. Sei ferner dA ein nach außen gerichtetes Flächenelement auf dieser Fläche; bei einer Kreisfläche steht der Vektor dF senkrecht auf dieser Fläche und zeigt nach außen. Dann beschreibt das geschlossene Hüllenintegral über dieser Fläche (Integral v*dF über der ganzen Fläche A) den Fluß aus dem Raumgebiet G heraus, und über den Gauß’schen Satz damit auch die Quellstärke innerhalb G (in der Elektrostatik ergibt sich - mit v = D = dielektrische Verschiebungsdichte - als Quellstärke die in dem Gebiet G eingeschlossene Ladung Q).

Nimmt man nun statt der nach außen gerichteten Flächenelemente solche an, die nach innen gerichtet sind (im Falle der Kugel also senkrecht zum Mittelpunkt der Kugel hin gerichtete Elemente), dann beschreibt doch das Ergebnis des Hüllenintegrals den Fluß von außen nach innen (statt von innen nach außen, wie oben angenommen). Damit müßte das Ergebnis über den Gauß’schen Satz aber auch die Quellstärke des gesamten Außenraumes (also bei einer Kugelfläche des Raumes r>R) beschreiben.
Frage: Ist die in dem letzten Satz gemachte Aussage immer richtig?

Grüße

Gunter

#2

Hallo Gunter,

pfiffig argumentiert :smile:

Aber der Satz von Gauß setzt *Beschränktheit* des Gebietes (des
Volumens) voraus. Der von Dir beschriebene Außenraum ist es
offenbar nicht.

Für solche mathematischen Feinheiten von „Alltags-Formeln“ empfehle ich wärmstens den inoffiziellen Nachfolger von Bronstein, nämlich das „Teubner-Taschenbuch der Mathematik“ (Hrg. E. Zeidler).

Gruß
Stefan

#3

Hallo Gunter!

Wie bereits geschrieben wurde, muß das Gebiet beschränkt sein. Abgesehen davon überleg dir mal folgendes:

Angenommen du hast nur eine Ladung Q im Inneren deines Gebiets, dann erhälst du offensichtlich gerade den Fluß durch die Fläche, der von dieser einen Ladung hervorgerufen wird. Wenn der Normalenvektor des Flächenelements nach innen zeigt, wird dein Ergebnis nur sein Vorzeichen ändern. Sofern außerhalb des Gebiets keine Ladungen vorhanden waren, liefert der Gaußsche Satz also gerade den Wert Q. Wenn sich nun auch Ladungen außerhalb befinden, so rufen sie natürlich ebenfalls einen Fluß durch die Fläche hervor. Wenn sich die Quelle nun aber nicht im Gebiet selbst befindet, ist der eintretende Fluß gleich dem austretendem Fluß. Damit heben sich beide Anteile wieder auf, und übrig bleibt Q.

Flo

#4

Hallo,

ich dachte, das Weltall sei Ladungsmäßig neutral. Dann würde bei einer einzigen Ladung Q an der betrachteten Stelle, eine negative Ladung -Q belieb weit entfernt anzunehmen sein (wenn man so will, im Unendlichen verschmiert). Im Elektrostatischen Feld würde dann die Aussage meines letzten Satzes richtig sein.

Grüße

Gunter

#5

Hallo Gunter

ich dachte, das Weltall sei Ladungsmäßig neutral.

Das ist es vielleicht in der Tat aber nur nach außen hin.

Das muß aber nicht für die Stelle gelten, an der die Hüllfläche mit den Flächenelementen dF liegt. Wenn das Weltall an dieser Stelle wirklich neutral ist, braucht man die Wirkung nicht auszurechnen, denn sie ist 0 und das Hüllenintegral berechnet sich nur aus den Ladungen innerhalb der Hüllfläche.

Ansonsten muß man zur Bestimmung des Flusses durch dF auch alle Ladungen außerhalb der Hüllfläche (und somit des gesamten Weltalls) heranziehen.
Wenn man dann den Vektor für das Flächenelement umdreht, erhält man tatsächlich gewissermaßen die Wirkung des gesamten Weltalls auf das Flächenelement, weil dies ja bei der Berechnung bereits berücksichtigt werden mußte.
In der Praxis ergibt sich natürlich, wie Papa Schlumpf bereits sagte nur eine Vorzeichenumkehr des Ergebnisses, weil etwas, was in ein unendlich dünnes Flächenelement hineinfließt auch genauso wieder herausfließen muß (nur an Grenzflächen gibt es Richtungsänderungen).

Viele Grüße
Torsten