Implizit differenzieren

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo ihr Lieben,

in unsrer Matheübung bekamen wir folgende Aufgabe:

Betrachten Sie die Gleichung

x*(f(x))^3 + (f(x) + 1) * e^{-x} = x^2 + 2

Bestimmen Sie mit Hilfe von impliziter Differentiation die Tangente von f an der Stelle a = 0.

Die Aufgabe habe ich schon komplett gelöst und will eigentlich nur wissen ob alles richtig ist, falls nicht vielleicht bitte ein Tipp geben :smile:

Zuerst habe ich das ganze etwas dif-freundlicher geschrieben, quasi ausmultipliziert :wink:

x*(f(x))^3 + e^{-x} * (f(x)) + e^{-x} = x^2 + 2

Die erste Ableitung ergibt dann:

(f(x))^3 + 3x(f(x))^2 * (f’(x)) - e^{-x} * (f(x)) + e^{-x} * (f’(x)) - e^{-x} = 2x

nun das ganze noch umstellen nach f’(x)
Bis zum umstellen habe ich folgende Schritte gemacht;

-(3x(f(x))^2 * f(’(x))

-2x

-(e^{-x} * (f’(x)))

(-3x(f(x))^2 - e^{-x})

=> f’(x) = \frac{(f(x))^3 - e^{-x} * (f(x)) - e^{-x} -2x}{-3x(f(x))^2 - e^{-x}}

Nun habe ich in die ursprünglich abgeleitete Fkt für x, 0 eingesetzt und erhielt

(f(0))^3 + 3*0(f(0))^2 * (f’(0)) - e^{-0} * (f(0)) + e^{-0} * (f’(0)) - e^{-0} = 2*0

Draus schloß ich, dass

f(x) = 0

ist wobei ich mir absolut nicht sicher bin, ich habe einfach mal angenommen dass der linke Teil der Gleichung f(x) ist.

Danach habe ich nur noch a = 0 und f(x) in die nach f’(x) umgestellte Form eingesetzt und erhielt als Ergebnis 1.

Sodass ich in die Tangentengleichnung;

T(x) = f(a) + f’(a) * (x-a)

nur noch die Werte einsetzen musste

=> T(x) = 0 + 1 * (x-0)

und daraus folgt die Tangente an der Stelle 0

T(x) = x

Danke schön schonmal,
liebe Grüße Matthias

#2

Hi,

du liegst leider falsch. Du schreibst die Funktion als
F(x,y) = x·y³+(y+1)·exp(-x)-x²-2 = 0. Wenn du x=0 setzt, kommst du auf y(0)=1. Die Ableitung bestimmst du durch
y’= -(dF/dx)/(dF/dy), was du in der Formelsammlung deines Vertrauens findest (ich z.B. im Merziger, 5. Aufl., S. 131), wobei jeweils die partielle Ableitung gemeint ist. Wenn du darin x=0 und y=1 setzt, kommst du auf y’(0)=1. Damit lässt sich die Tangentengleichung zu y=x+1 bestimmen.

Viele Grüße

Marco

#3

Hallo Marco,

danke für deine Hilfe, ich habe das ganze nochmal nachgerechnet, doch irgendwo habe ich wohl noch ein Fehler, denn ich bekomme immer -1 raus .

Hier also meine überarbeitete Version, zuerst nochmal die Ausgangsfunktion einfach etwas umgeschrieben.

F(x,y) = x*y^3+e^{-x}+y*e^{-x}-x^2-2=0

Danach soll ich ja folgende Formel benutzen:

y’(x) = \frac{\frac{dF}{dx} }{\frac{dF}{dy}}

Das ganze müsste doch dann so aussehen,

y’(x) = \frac{y^3 - e^{-x} -y*e^{-x} -2x}{3x * y^2 + e^{-x}}

aber dann komme ich aber auf -1

y’(x) = \frac{1 - 1 -1*1 - 0}{0 * 1 + 1} = \frac{-1}{1} = -1

Kannst du mir bitte sagen was ich falsch mache?

Liebe Grüße Matthias

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#4

Hallo,

Danach soll ich ja folgende Formel benutzen:

y’(x) = \frac{\frac{dF}{dx} }{\frac{dF}{dy}}

Hier fehlt ein Minus. Die Formel lautet: y’= -(dF/dx)/(dF/dy) mit Minus ganz vorne.

aber dann komme ich aber auf -1

was ja so sein muss. Unter Berücksichtigung des Minus kommt man dann auf 1.

Kannst du mir bitte sagen was ich falsch mache?

die Formel falsch abgetippt. Kann passieren.

Grüße

Marco

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#5

Hallo Marco,

danke für deine Hilfe :smile:

Liebe Grüße Matthias