Indexverschiebung bei Produktzeichen

Wissenschaft Physik
#1

Hallo,

das Problem entsteht bei einem Beweis durch vollständige Induktion. Zu beweisen ist:

Das Produkt von k=1 bis n von 1+1/(n+k)=2-1/(n+1)

Der IA stimmt und der IS bedeutet ja, dass aus der IV folgt, dass das Produkt von
k=1 bis n+1 von 1+1/(n+k+1)=2-1/(n+2) ist. Ich wollte jetzt von links nach rechts beweisen (natürlich unter Bezug auf die IV). Also:

Das Produkt von k=1 bis n+1 von 1+1/(n+k+1)= [1+1/(2n+2)]*[1+1/(2n+1)]*[2-1/(n+1)]

Stimmt die Zeile???
Denn ich kann nicht zeigen, dass das =2-1/(n+2)
Kann mir nur Vorstellen, dass meine Indexverschiebung falsch ist? Kann das sein?

Wäre echt super, wenn jemand den Denkfehler findet!

#2

Moin,

irgendwie scheint es gar nicht so einfach zu sein, das durch Induktion zu beweisen. Aber muss es denn unbedingt Induktion sein? Es geht doch elementar ganz einfach. Schreibe es Dir mal für z.B. n=5 auf, schreibe die Faktoren als Brüche (Hauptnenner), und dann siehst Du, dass man bis auf den ersten Nenner und den letzten Zähler alles wegkürzen kann. Und schon steht das Ergebnis da. Ist das nicht auch ein korrekter Beweis?

Olaf

#3

Hallo auch.

Das Produkt von k=1 bis n+1 von 1+1/(n+k+1)=
[1+1/(2n+2)]*[1+1/(2n+1)]*[2-1/(n+1)]

Stimmt die Zeile???

Nein, Du hast die Induktionsvoraussetzung angewendet und dabei uebersehen, dass Dein Produkt nach Indexverschiebung erst bei Index=2 beginnt. Darum musst Du noch durch (1+1/(n+1)) dividieren!

Einfacher wird der Beweis, wenn Du von Anfang an 1+1/(n+k) auf einen Nenner bringst, also (n+k+1)/(n+k) verwendest. Dann kuerzen sich die Terme in transparenter Form weg, wie Olaf ja schon bemerkt hat. In dieser Form siehst Du aus Deiner obigen Zeile unter Beruecksichtigung des fehlenden Faktors den Beweis sofort.

Gruss,
Klaus

#4

Hallo, danke für die Antwort.
Es sollte nach Aufgabenstellung ein Induktionsbeweis sein, aber ich hab bei der Indexverschiebung vergessen, dass es dann bei k=2 startet, wie in der anderen Antwort erklärt… Jetzt geht alles auf! Hausaufgabe fertig und abgegeben, Danke!!!