Hallo zusammen!
Kann mir jemand erklären, wie man hier beim Induktionsschritt von Beispiel 2 von 3*3^n -3 auf 3*(3^n -3 +3) -3 kommt? Ich verstehe nicht, wo die -3 und die +3 herkommen.
Danke im Voraus.
3*3^n -3
3*(3^n) -3
3*(3^n -3 +3) -3
siehst Du es jetzt?
Wahrscheinlich ist es total offensichtlich, aber nein, das hilft leider noch nicht weiter. 
Hallo Horu$,
Hallo zusammen!
Kann mir jemand erklären, wie man hier beim Induktionsschritt
von Beispiel 2 von 3*3^n -3 auf 3*(3^n -3 +3) -3 kommt?
Man hat zu 3^n Null = -3+3 addiert, was an der Gleichung nichts ändert. Durch diesen Trick kann man die Induktionsvoraussetzung einbringen, was man ja für den Beweis tun muss.
Ich
verstehe nicht, wo die -3 und die +3 herkommen.
Einfach eine vorausschauende Umformung!
Danke im Voraus.
Ok, verstanden. Aber wie erkenne ich dann, wann ich diesen Trick anzuwenden habe? Ich brauche ihn ja nicht immer, oder?
Hallo,
Aber wie erkenne ich dann, wann ich diesen Trick anzuwenden habe? Ich brauche ihn ja nicht immer, oder?
nein. Man kann mathematische Beweise mit solchen Tricks (manchmal sehr) clever, ästhetisch und kompakt formulieren, aber angewiesen ist man darauf niemals, d. h. es geht prinzipiell immer auch ohne Trick(s).
Hier ein Versuch zu Deiner Aufgabe:
Zunächst halten wir fest, dass 3n – 3 genau dann durch 6 teilbar ist, wenn \frac{1}{6} (3^n - 3) = k ist mit einer ganzen Zahl k.
Genauso ist 3n+1 – 3 genau dann durch 6 teilbar, wenn \frac{1}{6} (3^{n+1} - 3) eine ganze Zahl ist. Letzteres wollen wir im Induktionsschritt beweisen:
\frac{1}{6} (3^{n+1} - 3)= \frac{1}{6} (3 \cdot 3^n - 3) = \frac{1}{2} (3^n - 1)\quad[\ast]
Lösen wir die Induktionsannahme-Gleichung \frac{1}{6} (3^n - 3) = k nach 3n auf, erhalten wir 6k + 3, was wir zum Weiterrechnen benutzen:
[\ast] = \frac{1}{2} (6k + 3 - 1) = \frac{1}{2} (6k + 2)= 3k + 1
und damit ist der Beweis erbracht, denn für jedes ganzzahlige k ist auch 3k + 1 ganzzahlig.
Das wäre ein Beispiel für eine Beweisvariante, die ganz ohne Tricks auskommt, dafür dann aber – as you see – eher hässlich aussieht. Oft kann man mit relativ einfachen Tricks erreichen, dass ein Beweis viel kürzer und klarer wird, und dann sollte man sich nicht scheuen, davon Gebrauch zu machen. Der Trick, über den Du gestolpert bist – zu einem Term irgendeine geeignete Zahl addieren und sofort wieder subtrahieren – ist übrigens der meistbenutzte.
Gruß
Martin
das ist nur eine „willkürliche“ Erweiterung; die ist legitim und mathematisch erlaubt und für die Beweisführung notwendig.
so long
Ralf
Hallo (so beginnt man hier, mindestens!),
Martin hat gezeigt, dass man auch ohne diese „Erweiterung“ den Beweis führen kann!
das ist nur eine „willkürliche“ Erweiterung; die ist legitim
und mathematisch erlaubt und für die Beweisführung notwendig
.
so long
Ralf
Grüße von Ph33
Hallo,
Hallo,
Oft kann man mit relativ einfachen Tricks erreichen,
dass ein Beweis viel kürzer und klarer wird, und dann sollte
man sich nicht scheuen, davon Gebrauch zu machen. Der Trick,
über den Du gestolpert bist – zu einem Term irgendeine
geeignete Zahl addieren und sofort wieder subtrahieren – ist
übrigens der meistbenutzte.
z.B. bei der Herleitung der Lösung einen quadratischen Gleichung. Dort heißt die „geeignete Zahl“ quadratische Ergänzung.
Gruß
Martin
Grüße von Ph33
Alles klar. Dankeschön nochmals für die schnelle Hilfe.