Integral berechnen mit der Substitutionsmethode

[RSS88]

Hallo,

bei meinen Vorbereitungen zur Mathe Klausur bin ich auf folgenden Stolperstein gestoßen.

"Man berechne das Integral mit der Substitutionsmethode"¹∫_-1 4x √2x²+1 dx

Zunächst habe ich z = 2x²+1 abgeleitet und nach dx=dz/4x umgestellt.

Danach habe ich z und dx in das Integral eingesetzt, und erhalte

∫ 4x √z dz/4x → ∫ √z dz,

aufgeleitet erhalte ich nun 2/3z^3/2 + C.

Jetzt setze ich für z wieder „2x²+1“ ein, folgt:

2/3 * (2x²+1)^3/2 + C

Ist bisher alles richtig?
Stehe jetzt vor dem Problem, dass ich nicht weiß, wie ich „2/3 * (2x²+1)^3/2“ weiter vereinfache bzw. ausrechne. Denn abschließend ist das Integral noch bestimmt von -1 bis 1, d.h diese Rechnung steht mir ja noch bevor und das ist sicher einfacher, wenn ich 2/3 * (2x²+1)^3/2 vereinfacht habe.

Bin über jede Hilfe dankbar.

[Martin]

Hallo,

Preisfrage: Warum genügt ein kurzes Hinschauen, um sagen zu können, wie groß der Wert dieses Integrals…

\int_{-2}^{2} \Big(x + \frac{4}{x^3} + \tan(x^7+\ln x)\Big)
\frac{ x^2 e^{x^4 + \sin(x^2 + 10)} } {\tan(x^8) + \frac{1}{x^6} + 1} : dx

…ist, und wie groß ist er? Und was hat das mit Deinem Integral zu tun?

Gute Nacht
Martin

PS: Nein, das ist keine Veräppelung, sondern dahinter steckt ein tiefer Sinn. Zu Deiner (übrigens richtigen, aber auch unnötigen) Rechnung werden sich bestimmt noch andere Forenteilnehmer äußern.

[OlafG]

Hallo,

ich denke dass das alles bis hierher richtig ist. Und vereinfachen kann man das kaum, höchstens das „(…)hoch 3/2“ als Wurzel aus (…)hoch 3 schreiben.
Aber da Du ja nur 1 und -1 einsetzen musst, wird das nicht schwierig, das auszurechnen.

Was Martin uns sagen will, weiß ich nicht. Irgendwas mit Symmetrie?

Gruß
Olaf

[Peter_57]

Hallo,

Was Martin uns sagen will, weiß ich nicht. Irgendwas mit
Symmetrie?

Gruß
Olaf

Du sprichst ein wahres Wort gelassen aus. f(-x) = -f(x) in Integrationsgrenzen gleichen Betrags aber mit unterschiedlichen Vorzeichen. Was soll da schon herauskommen?

Gruß

Peter

[Hendrik_70c5fb]

Was Martin uns sagen will, weiß ich nicht. Irgendwas mit
Symmetrie?

Gruß
Olaf

Du sprichst ein wahres Wort gelassen aus. f(-x) = -f(x) in
Integrationsgrenzen gleichen Betrags aber mit
unterschiedlichen Vorzeichen. Was soll da schon herauskommen?

Hallo,

ich dachte auch erst, dass Martin auf Symmetrie hinaus will. Aber seine Funktion ist ja wegen des Logarithmus’ überhaupt nur für positive x-Werte definiert. Ich sehe da keine Symmetrie.

Gruß

hendrik

[Zwergenbrot]

Hallo,

Jetzt setze ich für z wieder „2x²+1“ ein, folgt:

2/3 * (2x²+1)^3/2 + C

Ist bisher alles richtig?

Habe es nur überflogen, aber es sieht sehr sinnvoll aus. Der Computer kommt auf dasselbe Ergebnis. Ich wäre also guter Dinge.

Stehe jetzt vor dem Problem, dass ich nicht weiß, wie ich „2/3
* (2x²+1)^3/2“ weiter vereinfache bzw. ausrechne. Denn
abschließend ist das Integral noch bestimmt von -1 bis 1, d.h
diese Rechnung steht mir ja noch bevor und das ist sicher
einfacher, wenn ich 2/3 * (2x²+1)^3/2 vereinfacht habe.

So wahnsinnig vereinfachen musst Du das nicht. Das bestimme Integral erhältst Du ja, indem Du einfach die Intervallgrenzen einsetzt. Denn ist F eine Stammfunktion von f, so ist bekanntlich
\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
In Deinem Fall ist, wie Du bereits berechnet hast für
f(x) = 4x \cdot \sqrt{2x^2+1}
die Funktion
F(x) = \frac{2(2x^2+1)^{\frac{2}{3}} }{3}
eine Stammfunktion. Daher gilt also die Gleichheit
\int_{-1}^1 f(x) dx = \frac{2(2 \cdot 1^2+1)^{\frac{2}{3}} }{3} - \frac{2(2\cdot (-1)^2+1)^{\frac{2}{3}} }{3}
Nun ist aber natürlich 1^2 =(-1)^2 = 1 .
Damit ist auch (2 \cdot 1^2+1) = (2\cdot (-1)^2+1) = 3 .
Insgesamt ist F(a) = F(b) und somit das Integral gleich 0.

Ist das verwunderlich? Nein. Denn f ist eine „ungerade Funktion“, d.h. es gilt für alle reellen Zahlen x die Gleichheit f(-x) = - f(x). In diesem Fall überzeugt man sich leicht davon, dass stets \int_{-a}^a f(x) dx = 0 gilt.

(Graphen ungerader Funktionen sind Punktsymmetrisch zum Punkt (0,0). Also entsteht links und rechts der y-Achse immer dieselbe Fläche unter Funktion.)

Vermutlich geht der Kommentar von Martin in diese Richtung.

Beste Grüße
Zwergenbrot

[Zwergenbrot]

Hm, in der Tat macht der Logarithmus für negative x nicht wirklich Sinn. Da muss er das wohl irgendwie komplex meinen. Soll hier eine Art Residuensatz genutzt werden oder ein anderes funktionentheoretisches Instrument?

[Peter_57]

Hallo,

Du sprichst ein wahres Wort gelassen aus. f(-x) = -f(x) in
Integrationsgrenzen gleichen Betrags aber mit
unterschiedlichen Vorzeichen. Was soll da schon herauskommen?

Hallo,

ich dachte auch erst, dass Martin auf Symmetrie hinaus will.
Aber seine Funktion ist ja wegen des Logarithmus’ überhaupt
nur für positive x-Werte definiert. Ich sehe da keine
Symmetrie.

Gruß

hendrik

ich meinte die Funktion, die ursprünglich gefragt war.

Gruß

Peter

[Martin]

hoppla… kalt erwischt
Hallo Hendrik,

Aber seine Funktion ist ja wegen des Logarithmus’ überhaupt
nur für positive x-Werte definiert. Ich sehe da keine Symmetrie.

danke für’s noch genauere Hinschauen. Hätte ich blos den unseligen Logarithmus da rausgehalten… args. OK, mein Fehler. Was Du sagst, stimmt natürlich, und deshalb an alle anderen: Bitte den „ln“ in dem Term ignorieren, oder durch einen „cosh“ ersetzt denken oder irgendeine andere harmlose (d. h. überall definierte) Funktion.

Ansonsten hat Zwergenbrot das Rätsel schon aufgelöst. Hinter jedes Integral mit betragsgleich-vorzeichenentgegengesetzten Grenzen und ungeradem Integrand darf man sofort „= 0“ schreiben. Und man tut auch gut daran, solche Fälle zu erkennen, weil man sich dann u. U. aufwendige Rechnungen sparen kann.

Gruß
Martin

[Zwergenbrot]

Was Du sagst, stimmt natürlich, und deshalb an alle
anderen: Bitte den „ln“ in dem Term ignorieren, oder durch
einen „cosh“ ersetzt denken oder irgendeine andere harmlose
(d. h. überall definierte) Funktion.

Die Kettenlinie („cosh“) ist gerade. Wenn das mit dem ungeraden x^7 im Tangens verknüpft wird, dann wird das nicht ungerade und auch nicht gerade. „cosh“ ist keine gute Wahl.

Grüße
Zwergenbrot

[RSS88]

Vielen Dank für jede Hilfe, die ich erhalten habe. Hatte insgesamt komplizierter gedacht, als es schlussendlich ist. ^^

Mission complete! =)

[Martin]

Re^2: hoppla… kalt erwischt
Hallo,

Die Kettenlinie („cosh“) ist gerade. Wenn das mit dem
ungeraden x^7 im Tangens verknüpft wird, dann wird das nicht
ungerade und auch nicht gerade. „cosh“ ist keine gute Wahl.

stöhn… das wird ja ein Alptraum… Aber gut: Wir können daraus etwas lernen, und zwar, dass man – in einem bestimmten Sinn, den ich gleich erläutere – bei ungeraden Funktionen mehr aufpassen muss als bei geraden.

Wenn irgendein komplizierter Ausdruck nur gerade x-Potenzen enthält, dann folgt alleine daraus schon, dass der Ausdruck selbst ebenfalls gerade ist (auf seinem gesamten, dann symmetrisch zur x-Achse liegenden Definitionsbereich, sofern dieser nicht leer ist).

Enthält irgendein Funktionsterm dagegen nur ungerade x-Potenzen, dann folgt daraus erstaunlicherweise erstmal garnichts! Um den Schluss ziehen zu können, dass der Ausdruck insgesamt ebenfalls ungerade ist, müssen weitere Bedingungen erfüllt sein.

Ein Beispiel: x⁴ ist eine gerade x-Potenz, und cos(x⁴) ist auch gerade, aber genauso ist auch sin(x⁴) gerade, obwohl sin selbst ungerade ist. Anders sieht es bei ungeraden x-Potenzen aus: x⁵ ist eine ungerade x-Potenz, und sin(x⁵) ist auch ungerade, aber cos(x⁵) ist gerade!

Ich gebe mal die genauen Regeln wieder. Im folgenden sollen g und G irgendwelche gerade Funktionen bezeichnen, u und U ungerade Funktionen sowie α eine Konstante. Dann gilt:

Vielfache und Summen:
   αg und g + G sind gerade.
   αu und u + U sind ungerade.

Produkte:
   g · G und u · U sind gerade.
   g · U und u · G sind ungerade.

Hintereinanderausführung:
   G(g) und G(u) und U(g) sind gerade, nur U(u) ist ungerade.

Interessanterweise ist das Verhältnis zwischen gerade und ungerade bei der Hintereinanderausführung also nicht ausbalanciert, sondern es steht 3 : 1 zugunsten von „gerade“. Eine kleine Besonderheit, die es im Auge zu behalten gilt, wenn man Probleme lösen will, bei denen diese Regeln relevant sind. Damit man nicht drüber stolpert und fällt wie ich :-/

Danke für Deine Antwort.

http://de.wikipedia.org/wiki/Gerade_und_ungerade_Fun…

Gruß
Martin

[Hendrik_70c5fb]

Hallo Martin,

zu deiner Erkenntnis kann ich dir nur gratulieren. Hier nur eine kleine Ergänzung.

Produkte:
   g · G und u · U sind
gerade.
   g · U und u · G sind
ungerade.

Das entspricht der additiven Gruppenstruktur von geraden und ungeraden ganzen Zahlen. Die Summe zweier gerader bzw. zweier ungerader Zahlen ist gerade, die Summe einer geraden und einer ungeraden Zahl ist ungerade.

Hintereinanderausführung:
   G(g) und G(u) und U(g) sind gerade, nur U(u) ist
ungerade.

Das entspricht der multiplikativen Gruppenstruktur von geraden und ungeraden Zahlen. Das Produkt zweier ungerader Zahlen ist ungerade, alle anderen Produkte sind gerade.

Gruß

hendrik