Integral ln(x³)

Wissenschaft Mathematik
#1

Ich stehe auf der Leitung…
Der Taschenrechner behauptet:
int( ln(x³) ) = x ln(x³) - 3x
doch wie komme ich händisch auf dieses Ergebnis?
Ich habe es mit Substitution versucht, doch da erhalte ich
u = x³
du/dx=3x^2
dx=du/(3x^2)

int (ln u du/(3x^2)) =
= (u ln(u) - u)/3x^2 =
= x/3 ln(x³) - x/3

Kann mir bitte jemand weiterhelfen? Danke!

#2

Bin gerade wieder von der Leitung gesprungen! Danke!
Hab die Lösung:
int ln(x³) dx =
= int ln(x x x) dx =
= int lnx + lnx + lnx dx =
= int lnx dx + int lnx dx + int lnx dx =
= …
und der Rest war leichte Umformung!

#3

Hallo Mone,

eigentlich mußt Du nur 2 Formeln kennen:

  1. ln(x exp3) = 3lnx (Regel für logarithmische Rechnung)
  2. int lnx dx = xlnx -x (Regel Integralrechnung)

unter Kenntnis dieser beiden Formeln ist die Umformung simpel.

Gruß
Pauli

#4

Und

  1. wird ganz einfach, wenn man den Trick mit der partiellen Integration kennt. Schreibe

int ln(x) dx = int 1 * ln(x) dx

und setze u’(x)=1, also u(x)=x und v(x)=ln(x) und damit v’(x)=1/x. Dann kürzt sich der Integrand im transformierten Integral, denn u(x)*v’(x)=x*1/x=1.

Oder man macht es mit dem Holzhammer und versucht erstmal für int f(x) dx den Ansatz F(x)=x*f(x) und gleicht dann die Ableitung von F mit dem tatsächlichen Integranden f ab. Funktioniert z.B. auch bei f(x)=arctan(x), f(x)=arcsin(x).

Gruß, Lutz

#5

Danke! Damit ist es wirklich „watscheneinfach“!

#6

Danke! Das hätte ich können! Bin am simplen Teil gescheitert :wink: