Hallo,
ich befinde mich derzeit in der Abi-Vorbereitungsphase und bin bei der Wiederholung auf folgendes Problem gestoßen und komme allein leider nicht weiter.
Warum ist
ln(x^2) = 2* INTEGRAL ln(x)dx
?
Entschuldigung für die Schreibweise, aber ich krieg das mit LaTeX irgendwie nicht auf die Reihe.
Gruß,
Martin
Hallo Martin,
Warum ist
ln(x^2) = 2* INTEGRAL ln(x)dx
?
das halte ich auch für ein Gerücht…
wie man mit partieller Integration leicht nachprüft ist
\int \ln(x) \mathrm{d}x = \int 1 \cdot \ln(x) \mathrm{d}x = x \ln(x) - \int 1 \mathrm{d}x = x \ln(x) - x \neq \frac{ \ln(x^2)}{2}
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+x+Log[x]±…
was du vermutlich meinst ist die Rechenregel
\ln(x^r) = r \ln(x)
Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Sind die Rechenregeln der e-Funktion bekannt, kann man daraus diejenigen des Logartihmuses herleiten. Und zwar funktioniert das so:
Der Logarithmus ist (im Reellen) nur für positive Zahlen definiert, weil alle Werte der e-Funktion positiv sind. Negative Werte können also nicht „umgekehrt“ werden. Dafür nimmt die e-Funktion alle positiven Zahlen an, es gibt darum zu jeder positiven Zahl x immer ein y, so dass
x = e^y \text{ und } y = \ln(x)
mithilfe der Potenzgesetze rechnen wir
x^r = (e^y)^r = e^{r \cdot y} \Rightarrow \ln(x^r) = \ln(e^{r \cdot y}) = r \cdot y = r \ln(x)
Ist r eine natürliche Zahl (also r = 1, 2, 3, 4 …) dann kann man dies auch mit einem anderen Logarithmusgesetz zeigen. Wir nutzen, dass
\ln( a \cdot b ) = \ln(a) + \ln(b)
Es folgt:
\ln( x^r ) = \ln(x \cdot x \cdot \dotsb \cdot x) = \ln(x) + \ln(x) + \dotsb + \ln(x) = r \ln(x)
wobei wir im zweiten Schritt r mal das x im Logarithmus stehen haben und in im dritten Schritt r Logarithmen addieren.
Hoffe es leuchtet ein. Viele Grüße
Danke erstmal für diese Ausführung. Leider komme ich damit nicht weiter. Ich beziehe mich jetzt auf eine konkrete Abituraufgabe und die Musterlösung. Ich gehe mal davon aus, dass NRW bei dieser Aufgabe ausnahmsweise nicht gepatzt hat.
Aufgabe:
h(x)=ln(x^2)-(2/x)
Zeigen Sie mit Hilfe von Integration, dass die funktion H mit der Gleichung H(x)=(2x-2)*ln x-2x eine Stammfunktion der Funktion h ist.
Lösung:
Es gilt INTEGRAL h(x)dx = 2 * INTEGRAL ln x dx - 2 * INTEGRAL 1/x dx
(und so weiter)
Das ist der erste Schritt der Lösung, der dort angeführt ist. Der Rest ist klar. Nur bin ich verwirrt, wie plötzlich die Potenz vor das Integral gestellt werden kann und in diesem nicht mehr weiter beachtet werden muss.
Gruß,
Martin
Warum ist
ln(x^2) = 2* INTEGRAL ln(x)dx ?
Hallo Martin,
ich vermute mal, du hast da ein Integral vergessen.
Sicherlich kennst du das dritte Logarithmusgesetz.
\ln\left(x^y\right)=y\ln (x)
Damit kriegst du
\int\ln\left(x^2\right)\ dx=\int 2\ln (x)\ dx=2\int\ln (x)\ dx
Gruß
hendrik
Sicherlich kennst du das dritte Logarithmusgesetz.
\ln\left(x^y\right)=y\ln (x)
Vielen Dank! Genau das habe ich nämlich schon wieder ganz vergessen…
Gruß,
Martin
lnx²=2*lnx, 2/x=2*1/x
Wenn du das Integral von h(x)dx=2*lnx-2*1/x bildest, kannst du die 2 als Konstante davor schreiben.