Integral x+5 / x^2+x

Wissenschaft Mathematik
#1

Liebe Experten!

Ich habe ein Problem beim Lösen folgenden Integrals:
Int((x+5)/(x^2+x))

Mein Lösungsansatz wäre der, aus der Division eine Multiplikation zu machen, also Int((x+5)*(1/(x^2+x))) und dann partiell zu integrieren. Hier hätte ich (x+5) abgeleitet und 1/(x^2+x) integriert. Nur wie integriert man das am besten? Im Nenner x herausheben (x*(x+1)) und dann wieder partiell lösen? Leider komme ich da auch auf keine Lösung, da die erneute Integration in der partiellen Lösung wieder nicht zu lösen ist. Mit Substitution? (x+1)=z? Bekomme ich wieder nicht hin!
Die einzige Möglichkeit um 1/(x^2+x) zu integrieren sehe ich darin, den Bruch in eine Subtraktion zu trennen. Also 1/x - 1/(x+1), aber nur weil es mein schlauer Taschenrechner so expandiert. Darf man bei Brüchen den Nennen überhaupt aufsplitten, oder ist das nur ein „Spezialfall“? Und wenn ja, gibt es dafür eine Regel? Oder kann man das Integral überhaupt auf eine komplett andere Weise lösen?

Vielen Dank bereits im Voraus.

LG, Philipp

#2

Hallo Philipp,
tut mir leid, aber da bin ich zu lang draußen. Ich kann dir nur sagen dass man Nenner nicht einfach so aufsplitten kann, nur Zähler ( (1+x)/x = 1/x + x/x zb), der Taschenrechner hat also irgendwelche Umdormungen gemacht,
Vielleicht würde eine Polynomdivision helfen, den bruch quasi „ausrechnen“, also „(x+5):frowning:x^2+x)=…“ aber das ist jetzt nur der letzte Versuch von jemandem der die Regeln wie mans normalerweise macht nicht kennt:wink:

Viel Erfolg beim Weitersuchen!

#3

Hallole,

störend ist, daß im Nenner eine lineare Funktion ist und im Zähler eine quadratische.

Am einfachsten geht es wohl so:
x /( x * (x+1)) + 5 / ( x^2 + x )
und ersten Summand kürzen.

Dann beide Summanden schrittweise in elementare Funktionen umwandeln, so daß die Stammfunktion sofort zu sehen ist.

Alternativ ginge es auch es mit der Substitution y := x^2 + x zu versuchen und das Integral umzuschreiben.

MfG
G. Aust

#4

Möglicherweise ist Dir ein Rechenfehler passiert, denn Dein Integrand muss lauten:
5/x - 4/(x+1) (Partialbruchzerlegung (!))
Also lautet Dein Integral:

5 ln x - 4 (ln (x+1) ) + C fertig!
Gruß von Max

#5

Echt gebrochen rationale Funktionen (d.h. Grad Zählerpolynom

#6

Ein bisschen trickreich vielleicht:
Am besten den Integranden vereinfachen:
F(x) = (x+5) / (x^2+x) = (x+5) / (x*(x+1)) = (5x+5-4x) / (x*(x+1)) = (5x+5) / (x*(x+1)) – 4x / (x*(x+1))
= (5*(x+1))/ (x*(x+1)) - 4x / (x*(x+1)) = 5/x – 4/(x+1).
Jetzt ist eine Stammfunktion leicht zu finden:
Int(f(x)) = 5* ln(x) – 4*ln(x+1) +const.
Grüße!
Walter

#7

Hallo,

ich würde das Integral mit der Partialbruchzerlegung lösen können. Das Verfahren lässt sich anwenden, wenn das Nennerpolynom sich in Linearfaktoren aufsplitten lässt.
Hier wäre es so zu lösen:
(x+5)/(x^2+x) = (x+5)/(x*(x+1))= A/x + B/(x+1).
Nun muss A und B ermittelt werden. Der Ausgangsbruch wird durch den Vorgang in zwei Einzelbrüche zerlegt (Partialbrüche).
Zur Ermittlung von A und B geht man folgendermaßen vor:
A/x + B/(x+1) |(Erweitern des ersten Bruchs mit x+1, des zweiten Bruchs mit x)
= A(x+1)/(x(x+1))+Bx/(x(x+1))
=(Ax+A + Bx)/(x*(x+1)) | Ausklammern
=((A + B)*x + A)/(x^2 + x)
Nun vergleicht man die Koeffizienten des Ausgangsbruches mit den Koeffizienten des letzten Bruches und bringt diese durch Lösen eines linearen Gleichungssystems in Übereinstimmung miteinander.
Hier:
1 x + 5 = (A+B)x + A (dies sind die beiden Zähler)
Vergleicht man nun die Koeffizienten, so muss gelten:
1 = A + B und
5 = A
Die Lösung liegt nun auf der Hand: A = 5 und B = -4.
Somit gilt:
(x + 5)/(x^2+x) = 5/x - 4/(x+1)
Also auch:
INT((x+5)/(x^2+x)) = INT (5/x) - INT (4/(x+1))
Die Lösung des rechten Teils gelingt mit der Stammfunktion:
INT(5/x) - INT (4/(x+1)) = 5*ln|x| - 4*ln|x+1| + C.

Das Verfahren lässt sich anwenden, wenn man die Nullstellen des Nenners ermitteln kann und wenn es sich bei der Bruchfunktion um einen „echten Bruch“ handelt, d.h. wenn der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist. Bei unechten Brüchen muss zunächst eine Polynomendivision durchgeführt werden, so dass die Ausgangsfunktion in einen ganzrationalen Teil und einen echten Bruch aufgesplittet wird, die dann getrennt integriert werden können.

Viele Grüße
funnyjonny

#8

Nimm den Bruch auseinander in 1/(x+1) + 5/(x(x+1)). Der erste Summand kannst Du logarithmisch integrieren, der zweite mit einer Partialbruchzerlegung

Gruss,
Peter

#9

Hallo Philipp,

da kann ich dir leider nicht weiterhelfen.
Sorry,

lg

#10

Hi Philipp,

auf den ersten Blick würde ich den Term aufbrechen zu
(x+5)/(x^2 +x) = (x+5)/x(x+1) = x/(x(x+1)) + 5/(x(x+1)) =
1/(x+1) + 5/(x(x+1))

Dann hast Du zwei einzelnen Integrale, die Du doch integrieren könntest :wink: ?

Viele Grüsse,
M.