Integralrechnung

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo zusammen,
ich bin gerade dabei für die Abiprüfungen zu lernen und habe Dutzende Aufgaben bearbeitet.
Nun bin ich mir nicht sicher ob ich die richtig bearbeitet habe, deshalb wollte ich euch Experten fragen, ob ihr mir helfen könnt.

Das hier „=>“ bedeutet daraus folgt !!!
Und F(x) ist die „Aufleitung“ von f(x)!!!
Und ich setze für (unendlich) a ein, da Unendlich kein genauer Wert ist.

Aufgabe :
a) Berechnen Sie die Unendliche reichende Flächen im 1. Quadrant zwischen der Kurve und den beiden Koordinatenachsen.
Die Grenzen sind immer a und 0 !

I ) f(x)=e^(-x) =>F(x)= -e^(-x)
lim A(a)
a-> + (unendlich) => a als obere Grenze und 0 als untere Grenze. Einsetzten => -e^(-a) + 1
Und da -e^(-a)= 0 bleibt uns nur noch +1 übrig d.h. die Größe der eingeschlossenen Fläche beträgt 1 FE ( eigentlich ist es unendlich groß, aber da „das Ziel“ von A(a) die Null zu erreichen ist müsste es so sein).

Meine Logik könnte falsch sein … was ich auch vermute… deswegen will (nicht falsch verstehen) ich, dass die Experten von www mir dabei helfen. Den rest habe ich nach dem gleichen Schema gemacht.

II ) f(x)=e^(-3x+1) => F(x)= -(1/3)*e^(-3x+1)
Grenzen eingesetzt => -(1/3)*e^(-3a+1) + e/3
-(1/3)*e^(-3a+1)=0 => e/3 FE

III ) f(x)=2*e^(-4x-2) => F(x)=-0,5*e^(-4x-2)
Grenzen eingesetzt => -0,5*e^(-4a-2)-(-0,5*e^(-2)
Und es gilt : -0,5*e^(-4a-2)= 0 => 0,5*e^(-2)FE

b ) gegeben : f(x)=e-e^x
Ab jetzt schreibe ich mich kürzer zu fassen,
sonst wird es zuviel !

I ) Der Graph schließt mit den Koordinatenachsen eine Fläche ein. Flächeninhalt ist gesucht !
F(x)= e*x-e^x und dann die Grenzen 1 und 0 einsetzen =>
0-(-1)=1 FE

II) Bestimmen Sie die waagerechte Asymptote von G.
Also da -e^x die x- Achse als Asymptote hat, hat e-e^x bei y=e als Asymptote oder ?

III) Die y-Achse, die waagerechte Asymptote und G schließen eine unendlich lange Fläche ein. Berechnen sie die Fläche und überprüfen sie, ob dieses Flächenstück so groß ist wie das Flächenstück aus Aufgabe I (also 1 FE)

Diesmal war bei mir a die untere Grenze und 0 die obere. (a -1 FE also den Betrag noch bilden => 1 FE. Die Flächen stimmen überein oder ?

letzte Aufgabe :
Der Zu- und Abfluss eines Wasserbeckens kann durch die Funktion f mit f(x)= -0,5*t+3 (t in Stunden f(t) Liter pro Stunde) beschrieben werden. Am Anfangist das Becken mit 10 Liter gefüllt.
Wieviel Wasser enthält das Becken nach 9 Stunden ?

Also ich habe die 10L direkt der Funktion hinzugefügt => f(t)= -0,5*t+ 13
während mein Kollege sagte, dass die 10 L dem „Endergebnis“ hinzu addiert werden.

Meine Lösung lautete also mit 9 als obere Grenze und 0 als untere Grenze => 96,75 L/h
Bei meinem Kollegen kam 16,25 raus, was ich für sehr unwahrscheinlich halte … Falls das der Fall sein sollte würde man hier nicht von einer Zufluss Rate sprechen sondern von einer „Zutropf“ Rate.

Also das kann alles richtig sein, aber das alles kann auch falsch sein. Ich freue mich auf eure Antworten und bedanke mich im Voraus.

MfG. R.

#2

hallo,
das ist ganz einfach, schau dir mal die grenzwertregeln in eurem buch an, da steht alles drin!

das ist hier schwer zu erklären…

gruß john

#3

Bis hier war alles inhaltlich richtig. Ich hoffe nur auf dem Papier wird es auch in der richtigen schriftform notiert.

b ) gegeben : f(x)=e-e^x

I ) Der Graph schließt mit den Koordinatenachsen eine Fläche
ein. Flächeninhalt ist gesucht !
F(x)= e*x-e^x und dann die Grenzen 1 und 0 einsetzen =>

Du hast nicht gesagt wo die 1 herkommt. In der Arbeit muss das begründet werden. zB Nebenrechnung: Nullstellen

0-(-1)=1 FE

II) Bestimmen Sie die waagerechte Asymptote von G.
Also da -e^x die x- Achse als Asymptote hat, hat e-e^x bei y=e
als Asymptote oder ?

Ja, aber die Begründung fehlt. Grenzwerte nach rechts von f(x) geht gegen -oo und der Grenzwert nach links von f(x) geht gegen e. Also schmiegt sich der Graph links an die waagerechte Asymptote y=e an.

III) Die y-Achse, die waagerechte Asymptote und G schließen
eine unendlich lange Fläche ein. Berechnen sie die Fläche und
überprüfen sie, ob dieses Flächenstück so groß ist wie das
Flächenstück aus Aufgabe I (also 1 FE)

Ich nehme mal an Du hast was vergessen abzutippen y-Achse G und f(x), Du hast f(x) vergessen abzutippen oder der Rest ist komplett falsch.

Diesmal war bei mir a die untere Grenze und 0 die obere. (a -1 FE also den Betrag noch bilden => 1 FE. Die
Flächen stimmen überein oder ?

letzte Aufgabe :
Der Zu- und Abfluss eines Wasserbeckens kann durch die
Funktion f mit f(x)= -0,5*t+3 (t in Stunden f(t) Liter pro
Stunde) beschrieben werden. Am Anfangist das Becken mit 10
Liter gefüllt.
Wieviel Wasser enthält das Becken nach 9 Stunden ?

Also ich habe die 10L direkt der Funktion hinzugefügt => f(t)=
-0,5*t+ 13

Das ist falsch
Mit dem Integral 0 bis 9 über f(t) dt errechnet man die Veränderung in den 9 Stunden. dazu kommt dann am ENde der Startwert. Wenn man dies in f(t) schon dazurechnen würde, würde man nicht 10L sondern 10L/h hinzufügen. Und das ist falsch.

Logik(hier):
F(x)->Höhe/Menge/Strecke
f(x)->Geschwindigkeit

während mein Kollege sagte, dass die 10 L dem „Endergebnis“
hinzu addiert werden.

Das ist korrekt siehe Begründung

Meine Lösung lautete also mit 9 als obere Grenze und 0 als
untere Grenze => 96,75 L/h
Bei meinem Kollegen kam 16,25 raus, was ich für sehr
unwahrscheinlich halte … Falls das der Fall sein sollte
würde man hier nicht von einer Zufluss Rate sprechen sondern
von einer „Zutropf“ Rate.

mathematisch ist die Größe der Zahlen unwichtig

Also das kann alles richtig sein, aber das alles kann auch
falsch sein. Ich freue mich auf eure Antworten und bedanke
mich im Voraus.

MfG. R.

#4

ich bedanke mich für deine Hilfe und nur so zu Info die FUnktion von b f(x)=e-e^x galt für I II III :smiley: ich dachte das wäre zu erkennen.

#5

Moin,

Aufgabe :
a) Berechnen Sie die Unendliche reichende Flächen im 1.
Quadrant zwischen der Kurve und den beiden Koordinatenachsen.
Die Grenzen sind immer a und 0 !

I ) f(x)=e^(-x)
(…) = 1

Seh ich genauso…

btw:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integral%280%2C…

II ) f(x)=e^(-3x+1)
(…) => e/3

jo…

III ) f(x)=2*e^(-4x-2) (…)=> 0,5*e^(-2)FE

jo…

b ) gegeben : f(x)=e-e^x
Ab jetzt schreibe ich mich kürzer zu fassen,
sonst wird es zuviel !

I ) Der Graph schließt mit den Koordinatenachsen eine Fläche
ein. Flächeninhalt ist gesucht !
F(x)= e*x-e^x und dann die Grenzen 1 und 0 einsetzen =>
0-(-1)=1 FE

sind diese grenzen vorgegeben? dann wäre das richtig…

II) Bestimmen Sie die waagerechte Asymptote von G.
Also da -e^x die x- Achse als Asymptote hat, hat e-e^x bei y=e
als Asymptote oder ?

was ist G. ?

III) Die y-Achse, die waagerechte Asymptote und G schließen
eine unendlich lange Fläche ein. Berechnen sie die Fläche und
überprüfen sie, ob dieses Flächenstück so groß ist wie das
Flächenstück aus Aufgabe I (also 1 FE)

Diesmal war bei mir a die untere Grenze und 0 die obere. (a -1 FE also den Betrag noch bilden => 1 FE. Die
Flächen stimmen überein oder ?

also ich würde mal vermuten, dass dem nicht so is, weil ja die fläche bei III einen 4-eckigen körper ergibt(sofern man unendlich als eckpunkte nehmen kann), wobei bei I wir ja einen wachsenden körper haben…
oder ich hab die aufgabe falsch verstanden…

letzte Aufgabe :
Der Zu- und Abfluss eines Wasserbeckens kann durch die
Funktion f mit f(x)= -0,5*t+3 (t in Stunden f(t) Liter pro
Stunde) beschrieben werden. Am Anfangist das Becken mit 10
Liter gefüllt.
Wieviel Wasser enthält das Becken nach 9 Stunden ?

Also ich habe die 10L direkt der Funktion hinzugefügt => f(t)=
-0,5*t+ 13
während mein Kollege sagte, dass die 10 L dem „Endergebnis“
hinzu addiert werden.

ne, f(t) ist ja die zulaufrate. die hat nix damit zu tun, dass 10 l im becken sind. in der stammfunktion sind die 10L
als konstante hinzuzufügen. die stammfunktion gibt ja schließlich an wie viel L im becken sind.

f(t)= -0.5t+3
F(t)= -0.25t^2+3x+10
F(9)= 16.75

am anfang hat man 10 L, dort laufen dann f(t) liter dazu. man beachte, dass nach 6h kein wasser mehr zuläuft
sondern abläuft! (man kann auch argumentieren, dass sich die letzen 6h ausgleichen und deswegen nur die ersten 3h zählen. nach 12h sind wieder exakt 10L im becken)

mfg
Hans

#6

Hallo „Nenn mich R“,
interessante Ansätze, kann im Moment aber leider nicht helfen - muss zum Dienst - sorry, viel Erfolg fürs Abi!
Gruß Bernd

#7

Hallo,

Aufgabe :
a) Berechnen Sie die Unendliche reichende Flächen im 1.
Quadrant zwischen der Kurve und den beiden Koordinatenachsen.
Die Grenzen sind immer a und 0 !

I ) f(x)=e^(-x) =>F(x)= -e^(-x)
lim A(a)
a-> + (unendlich) => a als obere Grenze und 0 als untere
Grenze. Einsetzten => -e^(-a) + 1
Und da -e^(-a)= 0 bleibt uns nur noch +1 übrig d.h. die Größe
der eingeschlossenen Fläche beträgt 1 FE

Richtig. Genau so wird es gerechnet.

II ) f(x)=e^(-3x+1) => F(x)= -(1/3)*e^(-3x+1)
Grenzen eingesetzt => -(1/3)*e^(-3a+1) + e/3
-(1/3)*e^(-3a+1)=0 => e/3 FE

Richtig.

III ) f(x)=2*e^(-4x-2) => F(x)=-0,5*e^(-4x-2)
Grenzen eingesetzt => -0,5*e^(-4a-2)-(-0,5*e^(-2)
Und es gilt : -0,5*e^(-4a-2)= 0 => 0,5*e^(-2)FE

Richtig.

b ) gegeben : f(x)=e-e^x
I ) Der Graph schließt mit den Koordinatenachsen eine Fläche
ein. Flächeninhalt ist gesucht !
F(x)= e*x-e^x und dann die Grenzen 1 und 0 einsetzen =>
0-(-1)=1 FE

Richtig.

II) Bestimmen Sie die waagerechte Asymptote von G.
Also da -e^x die x- Achse als Asymptote hat, hat e-e^x bei y=e
als Asymptote oder ?

Ja.

III) Die y-Achse, die waagerechte Asymptote und G schließen
eine unendlich lange Fläche ein. Berechnen sie die Fläche und
überprüfen sie, ob dieses Flächenstück so groß ist wie das
Flächenstück aus Aufgabe I (also 1 FE)

Diesmal war bei mir a die untere Grenze und 0 die obere. (a -1 FE also den Betrag noch bilden => 1 FE. Die
Flächen stimmen überein oder ?

Ja. Ganz richtig.

Der Zu- und Abfluss eines Wasserbeckens kann durch die
Funktion f mit f(x)= -0,5*t+3 (t in Stunden f(t) Liter pro
Stunde) beschrieben werden. Am Anfangist das Becken mit 10
Liter gefüllt.
Wieviel Wasser enthält das Becken nach 9 Stunden ?

Also ich habe die 10L direkt der Funktion hinzugefügt => f(t)=
-0,5*t+ 13

Das ist falsch.

während mein Kollege sagte, dass die 10 L dem „Endergebnis“
hinzu addiert werden.

Da hat er recht.

Meine Lösung lautete also mit 9 als obere Grenze und 0 als
untere Grenze => 96,75 L/h

Das ist falsch.

Bei meinem Kollegen kam 16,25 raus, was ich für sehr
unwahrscheinlich halte …

was aber richtig ist.

Falls das der Fall sein sollte

würde man hier nicht von einer Zufluss Rate sprechen sondern
von einer „Zutropf“ Rate.

Es ist eine Schulaufgabe, da sollte man nicht zuviel Sinn suchen.

Also das kann alles richtig sein, aber das alles kann auch
falsch sein. Ich freue mich auf eure Antworten und bedanke
mich im Voraus.

War ja fast alles richtig.

Gruß

Marco

#8

Ergänzung: Ich komme bei der Aufgabe mit dem Zufluss auf 16,75 L. Ist da ein Tippfehler bei dir? Wenn nicht, nochmal melden, dann rechne ich es haarklein vor.

#9

Ergänzung: Ich komme bei der Aufgabe mit dem Zufluss auf 16,75
L. Ist da ein Tippfehler bei dir? Wenn nicht, nochmal melden,
dann rechne ich es haarklein vor

Sry du hast recht, da habe ich wohl beim eintippen ein Fehler gemacht.

#10

vielen Dank für deine mentale Unterstützung :smiley:

#11

Ich sehe noch nicht ein wieso ich die 10 zu der „Aufleitung“ hinzu fügen soll, denn die Konstante der „Aufleitung“ wird ja wieder weg subtrahiert beim einsetzen der Grenzen oder ?
Und nochmals vielen Dank

#12

Stimmen auch meine Argumentationen ?
Und vielen Dank für deine Hilfe.

#13

Das, was Du da machst, erscheint mir spontan gesagt logisch,
aber so viel Zeit, mir alles durchzurechnen, hab ich grad nicht, sorry!
Hoffe, jemand konnte Dir ausführlicher helfen!
F

P.S.: Die Aufgabenstellung erschien mir doch recht durcheinander???

#14

f(t) ist die zulaufgeschwindigkeit, also die änderungsrate. sie sagt nicht aus, wie viel sich in dem becken befinden, sondern nur, wie das fließverhalten des zuflusses ist.
integrieren tut man hier auch nicht über irgendwelche grenzen, sondern man hat ja eine funkion die das füllverhalten des beckens beschreibt.
also:
f(t):fließverhalten
F(t):füllstand des beckens

und tu mir einen gefallen und sag „integrieren“ und „stammfunktion“.

#15

Ja, deine Argumentationen stimmen. Man muss nicht einmal Argumentationen sagen, du hast es ja mathematisch korrekt ausgerechnet. Außer bei der letzten Aufgabe natürlich, da hatte ja dein Kollege recht.

Gruß

Marco

#16

stimmt du hast recht . Jetzt verstehe ich was du meinst.

#17

Ok vielen Dank. Meine Lehrerin hat gesagt ich muss noch an der Schreibweise etwas feilen

#18

Das sieht alles richtig aus…

Bis auf beim letzten. Da hat dein Kollege recht. f(t) hat die Einheit Liter pro Stunde. und du rechnest jetzt 3 Liter Pro Stunde plus 10 Liter…das wird nix.
Das ist die Anfangsbedingung.
-0,5*t+3
Das ist die Formel für den Zulauf (zur Zeit t=0 hat das Ding einen Zulauf von PLUS 3 Litern). Also:
integriert:
0,25*t^2-3t+c muss bei t=0 gleich 10 sein. Also ist c=10
Jetzt die 9 eingesetzt:
81/4-27+10=3,25
Dann als untere Grenze die 0 eingesetzt:
10
3,25-10=-6,75
Zuerst hast du sie hinzugefügt und dann ziehst du sie wieder ab.
Kling aber irgendwie unrichtig.
Dann wäre der aktuelle Füllstand unabhängig vom Endfüllstand…
Da muss ich nochmal drüber nachdenken…

#19

Hi,

erstmal bitte ich um Verzeihung für die lange Wartezeit, ich bekam für diese Frage keine EMail Benachrichtigung. :-S

a)
ist richtig, die Fläche wird immer größer und in der Unendlichkeit erreicht sie +1FE.

b)
du fragst nach „g(x)“ aber du hast nie so eine FKT definiert, aber du hast dich nur verschrieben, oder?
g(x)=e-e^x ?
I Richtig gerechnet
II Richtig geschlussfolgert
III wenn du ein großes „G“ schreibst, dann meinst du damit eine Stammfunktion? wenn aber nicht, dann:
Ja, da sich die Krümmung der FKT nicht ändert, sondern sie nur verschoben und gespiegelt wird, bleibt der A=1FE gleich. (Soweit die Logik)
Bei deiner Berechnung jedoch blick ich nicht ganz durch. Ich glaube, du hast vergessen, dass der A, den wir suchen jetzt ja frei im Koordinatensystem „hängt“, also muss man da ja dann ∫(obere - untere FKT)dx [Grenzen ∞ und 0] rechnen. Die Obere ist e die untere e-e^x.
In der Theorie sollte da „1“ rauskommen, bei mir aber nur -∞.
Ich würde daher zu einer kleinen Trickserei greifen:
beide Funktionen im Koo.Sys. verschieben (sodass die Relativen Positionen zueinander gleichbleiben, das beeinträchtigt den A nicht)

also
„e“ und „e-e^x“ -e rechnen
„e-e“ und „e-e^x-e“
„0“ und „-e^x“ | an der X Achse Spiegeln [*(-1)]
„-0“ und „–e^x“ | an der Y Achse spiegeln [1/ bzw. ^-1]
„0“ und „e^-x“
Der Flächeninhalt A hat sich relativ nicht geändert und ist geblieben, wie am Anfang. Jetzt kann er aber viel leichter berechnet werden → siehe Aufgabe 1

in der Prüfung musst du das dann natürlich nochmal rechnen, da die Aufgabe ja „berechne“ lautet!!!

ach und es wäre toll, wenn du markieren könntest, wo eine Aufgabe anfängt/aufhört und wo du nur eine Leerzeile gelassen hast. :wink:

P.S. habe auch bald Abitur