Integralrechnung

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

folgende Aufgabe:

"Man berechne das Integral:

∫ (x+1) / (2x^2 + 2x - 4) dx"

Folgende Vorgehensweise in der Kurzzusammenfassung:

1. Nullstellen herausfinden!

p-q-Formel:

NST:  x1 = 1  und  x2 = -2

2. Linearfaktorzerlegung --> Partialbruchzerlegung

f(x) = (x+1) / ((x-1) * (x+2))

f(x) = a / (x-1) + b / (x+2)

über Kreuz multipliziert, vereinfacht und „x-Paare“ zusammengepackt erhalte ich:

(ax + bx + 2a - b) / ((x-1) * (x+2)) =
((a+b) * x + 2a - b) / ((x-1) * (x+2))

Nun muss ja, auf die ursprüngliche Funktion beziehend:

a+b

=  1  sein
und

  • 2a - b

=  1  sein

3. Gleichungssystem aufstellen!

       I   a + b = 1
(+) II  2a - b = 1
         3a      = 2 -->  a = 2/3

a eingesetzt:

2/3 + b = 1 -->  b = 1/3

4. a und b einsetzen!

f(x) = a / (x-1) + b / (x+2) 
= 2/3 / (x-1) + 1/3 / (x+2)
= 2/3 * (1 / (x-1)) + 1/3 * (1 / (x+2))

Dieses nun zum Integrieren:

∫ f(x) dx = [2/3 * ln(x-1) + 1/3 * (x+2)] + C

Vielleicht bin ich jetzt der richtigen Vorgehensweise näher gekommen. Wie ich den abschließenden Ausdruck nun richtig integriere, weiß ich allerdings nicht mehr.

Ich bin dankbar über jedes Feedback!

Reiner

#2

Den Nenner Null setzen bringt hier ja nicht die Nullstellen,
sondern die Polstellen -
da der Nenner nicht Null werden darf,
ist dort eine Definitionslücke.

Nullstelle ist auf jeden Fall -1,
da dann der Zähler Null ist.

#3

Mein Fehler, habe mich falsch ausgedrückt.

Muss ich denn nicht bei der Partialbruchzerlegung für die Integration den Nenner = 0 setzen? (Sind natürlich dann nicht die Nullstellen, sorry)

Und dann weiter vorgehen wie oben beschrieben?

Schönen Gruß

Reiner

#4

Hallo,

„Man berechne das Integral: ∫ (x+1) / (2x^2 + 2x - 4) dx“

1. Nullstellen herausfinden!

womit die Nullstellen des Nennerpolynoms gemeint sind (also nicht die von f).

Vorsicht: Nur weil 2x² + 2x – 4 die Nullstellen 1 und –2 hat, gilt zwar „fast“ 2x² + 2x – 4 = (x – 1) (x + 2), aber eben nur fast. Hier will noch eine gewisse 2 berücksichtigt werden.

f(x) = (x+1) / ((x-1) * (x+2))

f(x) = a / (x-1) + b / (x+2)

über Kreuz multipliziert, vereinfacht und „x-Paare“ zusammengepackt erhalte ich:

Das geht einfacher: Wenn (x+1) / (2 (x-1) (x+2)) nach dem PBZ-Ansatz dasselbe sein soll wie a / (x-1) + b / (x+2) dann führt die Überkreuzmultipliziererei mit 2 (x-1) (x+2) auf die Identität

x + 1 = 2 a (x + 2) + 2 b (x – 1)

Wenn Du jetzt schlicht x = 1 setzt, liefert das schnell a, weil – das ist der Trick – der Summand 2 b (x – 1) für genau diese Wahl von x verschwindet. Analog bekommst Du mit x = –2 schnell den Wert von b. Das Setzen von x auf irgendwelche willkürlichen Werte ist erlaubt, weil die Gleichung ja ausdrücklich für alle x gelten soll. Dadurch bleibt einem das Gleichungssystemgeraffel erspart (aber Achtung: Es gibt auch PBZ-Probleme, wo dieser Trick nur einen Teil der Lösung liefert. Das passiert, wenn das Nennerpolynom mehrfache Nullstellen besitzt. Dann kommt man um das Aufstellen und Lösen des Gleichungssystems nicht herum).

f(x) = 2/3 * (1 / (x-1)) + 1/3 * (1 / (x+2))

Ja, das ist bis auf den anfangs vergessenen Faktor 2 korrekt. Kannst ja auch einfach mal die Probe machen.

Hast Du jetzt irgendein Problem, von

\frac{2}{3} : \frac{1}{x-1} + \frac{1}{3} : \frac{1}{x+2}

bzw. der Hälfte davon sofort eine Stammfunktion anzugeben? Vorausgesetzt, Du weißt die Stammfunktion zu 1/x auswendig (was von Dir erwartet wird).

Gruß
Martin

#5

Ja, das ist bis auf den anfangs vergessenen Faktor 2 korrekt. Kannst ja auch einfach mal die Probe machen.

Kann gerade nicht nachvollziehen, wo ich den Faktor 2 vergessen habe.

Hast Du jetzt irgendein Problem, von bzw. der Hälfte davon sofort eine Stammfunktion anzugeben?

Bekomme ich dann hin. Vielen Dank für deine Hilfe!!!

(ln(x+2) / 3) + (2⋅ln(x−1) / 3)

Schönen Gruß

Reiner

#6

Kann gerade nicht nachvollziehen, wo ich den Faktor 2 vergessen habe.

Du ziehst ganz am Anfang aus der korrekten Aussage „2x² + 2x – 4 hat die Nullstellen 1 und –2“ den falschen Schluss 2x² + 2x – 4 = (x – 1)(x + 2).

2000x² + 2000x – 4000 hat ebenfalls die Nullstellen 1 und –2, ist aber deswegen auch nicht gleich (x – 1)(x + 2). (Sondern…?)

Korrigier Dich selbst.

Martin

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#7

Ah… vielen Dank!

Richtig, durch den Faktor 2 wird die Gleichung wieder korrekt. Doch kurze Zwischenfrage: Wenn ich also die Nullstellen des Nenners habe, schaue ich erst nochmal, was bzw. welcher Faktor noch fehlt, damit die Gleichung korrekt ist. Wenn ich nun aber mit meiner angewandten Methode der Kreuzmultiplikation vorgehe, wo ist dort die 2 (in diesem Falle) zu setzen, ohne dass diese die Kreuzmultiplikation (falsch) beeinflusst?

2000x² + 2000x – 4000 hat ebenfalls die Nullstellen 1 und –2, ist aber deswegen auch nicht gleich (x – 1)(x + 2). (Sondern…?)

In diesem Falle ist der Faktor die 2000. Doch auch hier. Wo schreibe ich diese genau hin?

Mein Fall oben:

f(x) = (x+1) / ((x-1) * (x+2))
f(x) = a / (x-1) + b / (x+2)

Wo ist nun der Faktor 2 zu setzen ohne falschen Einfluss auf die Kreuzmultiplikation?

Ich hoffe ich habe mein Verständnisproblem nachvollziehbar erläutert.

Erneut 1000 Dank!

Reiner

#8

f(x) = (x+1) / ((x-1) * (x+2))
f(x) = a / (x-1) + b / (x+2)

Wo ist nun der Faktor 2 zu setzen ohne falschen Einfluss auf die Kreuzmultiplikation?

Wenn Du \frac{x+1}{2 (x-1) (x+2)} partialbruchzerlegen willst, dann musst Du auf die linke Seite des PBZ-Ansatzes auch genau das hinschreiben – ist ja wohl klar, oder? Die rechte Seite kann gleichbleiben, also a/(x – 1) + b/(x + 2).

Clevere Leute machen es übrigens so: Man sieht gleich am Anfang, dass im Nenner von \frac{x+1}{2x^2 + 2x - 4} der konstante Faktor 2 steckt. Da man weiß, wie mit solchen konstanten Faktoren am besten zu verfahren ist (ignorieren), löst man die Aufgabe für die Funktion \frac{x+1}{x^2 + x - 2} und freut sich daran, weniger schreiben zu müssen und alles besser überblicken zu können, weil man nicht an unzähligen Stellen in der Rechnung den tumben Faktor 1/2 herumstehen hat. Ganz am Schluss multipliziert man das Ergebnis (hier also die Stammfunktion) mit 1/2 und das war’s.

Gute Nacht
Martin

PS: Noch ein Stück schlauer als den Faktor 2 im Nenner zu deaktivieren, wäre hier übrigens die Substitution t = x – 1. Das würde den Term weiter vereinfachen, nämlich zu

\frac{t + 2}{t (t+3)}

Den kann man sogar sofort in eine Summe zerlegen:

\frac{1}{t+3} + \frac{2}{t (t+3)}

Eine Stammfunktion zum ersten Summand 1/(t + 3) lässt sich direkt angeben, aber für den zweiten ist nach wie vor die Partialbruchzerlegung nötig, wobei die für 1/(t (t + 3)) einfacher ist als die für (x + 1) / ((x – 1)(x + 2)). Witzigerweise kann man die PBZ von 1/(t (t + 3)) übrigens auch gewinnen, ohne das PBZ-Verfahren als solches durchzuführen: Man leite stattdessen ln(t (t + 3)) auf zwei verschiedene Weisen ab. Probier’s mal aus. Alternativ ist der Stammfunktion von 1/(t (t + 3)) auch durch Substitutionsintegration beizukommen, wobei man die geeignete Substitution dann mehr oder weniger raten muss – es ist t = q/(3 – q).

Ja, wenn Du Bock auf die volle Mathedröhnung hast, kannst Du mit dieser Aufgabe glücklich werden :smile:

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