Integration durch Substitution?

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo Leute,

ich möchte folgendes Integral bilden:

\int_0^t \lambda (z) dz

Die Funktion für lambda(z) lautet dabei

\lambda (z) = (20 + 10 cos[2\pi(z-9.5)])

Ich dachte mir, dass das wohl mit Integration durch Substitution zu lösen wäre. Sprich ich wähle
x = 2\pi(z-9.5)
, sodass ich dann nach Ableitung

dz = \frac{dx}{2\pi}

hätte.

So käme ich auf

\int_0^t 20 dz + \int_0^t 2\pi10cos(x) dx

und durch Integration auf

20z + 20\pi sin(x)

Die Resubstitution würde mich dann letztlich zu

20z + 20\pi sin[2\pi(z-9.5)]

bringen.

Das Integral führt mich aber nicht an das richtige Ergebnis, wenn ich Ober - und Untergrenze einfülle. Ich gehe daher eher davon aus, dass irgendwas an der Formung des Integrals nicht stimmt.

Wäre wirklich sehr nett, wenn jemand (am besten noch vor morgen : p) Zeit hätte, sich das mal eben anzugucken.

Cheers und danke schonmal!

#2

Hi,

in der Substitution hast Du es noch richtig herum, beim Einsetzen aber falsch: dz=2pi*dx oder dx=1/2pi*dz.

Außerdem solltest Du entweder die Stammfunktion mit einem unbestimmten Integral bestimmen, oder aber bei der Substitution auch die Integrationsgrenzen anpassen. Aus z=0 bis z=t würde dann x=9.5 bis x=9.5+t/2pi.

Gruß, Lutz

#3

Aber ich hab doch x = 2pi(z-9.5), ergo dx/dz = 2pi, sprich dz/dx = 1/(2pi), daher dz = dx/(2pi) …

oder etwa nicht?

Mir geht erstmal nur um das unbestimmte Integral - aber danke für den Hinweis!

#4

Hallo!

Aber ich hab doch x = 2pi(z-9.5), ergo dx/dz = 2pi, sprich
dz/dx = 1/(2pi),
daher dz = dx/(2pi) …

Eben! Aber im Ursprungsposting hast Du diese Zeile anders ins Integral geschrieben. Schaue dort noch einmal nach. :wink:

Liebe Grüße,

The Nameless

#5

Whoops, stimmt.

Hab aber auch gemerkt, dass das nicht der einzige Fehler war in der Gleichung - ich schreib nochmal übersichtlich neu auf.

#6

Also wie gesagt, zwecks Übersichtlichkeit nochmal neu. In meinem ursprünglichen Post waren nen paar Fehler dirn.

Also, wenn ich x = 2pi(z-9.5) wähle, dann bekomme ich dz = dx/2pi.

Folglich hab ich dann

\int \lambda (z) dz = \int 20 + 10cos[2\pi(z-9.5)]dz
= \int 20 dz + \int 10 cos[2\pi(z-9.5)]dz

= \int 20 \frac{dx}{2\pi} + \int 10 cos(x) \frac{dx}{2\pi}

= \int \frac{10}{\pi} dx + \int \frac{5}{\pi} cos(x) dx
= \frac{10x}{\pi} + \frac{5}{\pi} sin(x)

Soo, damit komme ich aber immer noch nicht an das gewünschte Ergebnis - jemand ne Idee ob da noch nen Fehler drin ist?

#7

Hi,

was ist die Stammfunktion von cos(x)?

Im ersten Integral braucht man z nicht substituieren, da direkt lösbar.

Insgesamt muss am Ende natürlich x wieder gegen z ersetzt werden.

Wenn Du in LaTeX \cos schreibst (\sin, \exp, \tan etc.), dann werden diese Funktionsnamen etwas schöner dargestellt.

Gruß, Lutz

#8

Guten Tag,

Stimmt schon, aber die kann auch die z-Werte mittels meiner gewählten Funktion für x in x-Werte umwandeln und die dann in meine letzte Gleichung einsetzen.

Die Stammfunktion von cos(x) ist doch einfach nur sin(x), oder etwa nicht?

Also weiss niemand konkret wo da der Fehler ist?

#9

Ja,

sorry, das mit dem cos war Kurzsichtigkeit.

Du müsstest uns noch verraten, was denn das gewünschte Ergebnis ist und inwiefern Dein Ergebnis davon abweicht.

Schließlich ist in Deiner Rechnung noch die Rücksubstitution auszuführen und die Integrationsgrenzen einzusetzen.

Gruß, Lutz