Integration einer unbekannten Funktion

Wissenschaft Mathematik
#1

Liebe Experten,

ich sitze gerade an einem Problem und komme nicht weiter. Dabei denke ich nicht, dass es allzu schwer sein sollte.

Ich habe eine Funktion pi = Integral von 0 bis v2 (v2 - beta(v2)) dv1 + integral von v2 bis 1 beta(v1)dv1 Diese funktion soll durch v2 maximiert werden, also quasi direkt nach dem Integrieren wieder differenziert werden. Daraus ensteht dann eine Differentialgleichung.

Mein Ansatz ist:

Der erste Term ist leicht aufzuleiten denn es ist einfach (v2-beta(v2))v2 und dementsprechend auch leicht abzuleiten. Beim zweiten Term habe ich Probleme. Da man direkt wieder ableiten würde, kann man sich glaube ich das Aufleiten sparen und direkt die Grenzen einsetzen, aber wie genau weiß ich nicht.
Mit Aufleiten wäre es ja: beta(Stammfkt)(v1) in den Grenzen v2 und 1 wäre dann beta(Stammfkt)(1) - beta(Stammfkt)(v2) wäre abgeleitet einfach beta(v2) ? Dabei kommt nicht die richtige Lösung raus leider.

Kann mir jemand helfen? Soweit ich weiß gibt es auch irgendeinen „Trick“ ich denke er hat damit zu tun, dass man direkt wieder ableitet nach dem aufleiten.

Viele Grüße

#2

Hallo,

du bist schon auf der richtigen Spur. Allerdings musst du aufpassen, wonach du ableitest und integrierst.
Also noch mal ordentlich.
\pi = \int_0^{v_2} ! v_2-\beta (v_2) , \mathrm{d}{v_1}+\int_{v_2}^1 ! \beta (v_1) , \mathrm{d}{v_1}
Den ersten Teil hast du bereits beschrieben. Da eine konstante Funktion integriert wird, kann man über den Rechteckflächeninhalt rechnen.
Zum zweiten Teil. Gehen wir mal davon aus, dass \gamma (v_1) eine Stammfunktion von \beta (v_1) ist. Also
\frac {\mathrm{d} \gamma (x)}{\mathrm{d} x} = \beta (x)
Das bestimmte Integral kann dann ausgeschrieben werden als:
\int_{v_2}^1 ! \beta (v_1) , \mathrm{d}{v_1} = \gamma (1) - \gamma (v_2)
Deine Zielfunktion ist dann also:
\pi = (v_2-\beta (v_2)) * v_2 + \gamma(1) - \gamma(v_2)
Das ganze abgeleitet nach v2 ergibt dann:
\frac {\mathrm{d} \pi}{\mathrm{d} v_2} = \frac {\mathrm{d} (v_2-\beta (v_2)) * v_2}{\mathrm{d} v_2} + \frac {\mathrm{d} \gamma(1)}{\mathrm{d} v_2} - \frac {\mathrm{d} \gamma(v_2)}{\mathrm{d} v_2}
gamma(1) ist eine Konstante und damit trivial zu integrieren. Den anderen Teil haben wir oben bereits stehen, das ist einfach beta:
\frac {\mathrm{d} \pi}{\mathrm{d} v_2} = \frac {\mathrm{d} (v_2-\beta (v_2)) * v_2}{\mathrm{d} v_2} - \beta (v_2)

Nico

#3

Hallo Nico!

Vielen Dank erstmal für die Antwort und die Mühen, sehr cool, dass man hier TeXen kann, das wusste ich noch garnicht :smile:

Mein Ergebnis ist folgendes:

\frac{\partial \pi}{\partial v_{2}} = 2v_{2} - \beta’(v_{2})v_{2} - 2\beta(v_{2}) = 0

Stimm das? Denn in der Lösung zur Aufgabe steht folgendes Ergebnis:

2 \beta(v) + \beta’(v)v = v

welches durch die tolle funktion \frac{1}{3}v gelöst würde.

In der Lösung steht sowohl die Payoff Funktion wie ich sie geschildert habe als auch das Ergebnis.

Liege ich noch irgendwo falsch?

Grüße!

#4

Ich komme noch auf etwas ganz anderes:
2v=(1+v)\beta '(v)+\beta(v)
Entweder ich habe mich weiter oben schon mal vertan (ich sehe aber gerade keinen Fehler) oder die angegebene Lösung ist falsch oder du hast die Aufgabe falsch abgetippt oder ich habe die Textform falsch interpretiert.
Du kannst ja noch mal drübersehen, ob du einen Fehler findest. Aber es müsste eigentlich alles korrekt sein.

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#5

Hoi Nico,

Dein Latex-Code geht nicht!

Ich habe gerade noch eine Sache entdeckt und zwar scheint es einen Unterschied zu geben zwischen \tilde{v}_{2} und v_{2} . Ich dachte die Werte würden identisch sein beim maximieren aber genau ist das Problem:

v_{2} solvesmax_{\tilde{v}_{2}} \int_{0}^{\tilde{v}_{2}} (v_{2} - \beta(\tilde{v}_{2}))dv_{1} + \int_{\tilde{v}_{2}}^{1} \beta(v_{1}) dv_{1}

Das heißt die Aufleitung des ersten Terms wäre:

(v_{2} - \beta(\tilde{v}_{2}))(\tilde{v}_{2})

die des zweiten Terms wieder (nur für die Ableitung relevanten Teil)

\beta(\tilde{v}_{2})

Alles zusammen wäre:

(v_{2} - \beta( \tilde{v}_{2})) \tilde{v}_{2} - \beta ( \tilde{v}_{2})

Was abgeleitet nach v Tilde:

v_{2} - 2 \beta( \tilde{v}_{2}) - \beta’(\tilde{v}_{2}) \tilde{v}_{2} = 0

ergibt.

Warum im letzten schritt aus v_{2} und \tilde{v}_{2} nur v wird und somit zur Lösung:

v = 2 \beta(v) + \beta’(v)v ist mir zwar noch nicht so ganz klar, aber das ist eher eine intuitive im Kontext der Aufgabe zu lösendes Problem und nichts mathematisches.

Ich danke Dir auf jeden Fall für Deine Mühen, Nico, und entschuldige mich dass es unnötig kompliziert wurde durch das übersehen der Tilde :wink:

Viele Grüße!

#6

Hi Nico oder gerne ein anderer Experte :smile:,

ich bin’s nochmal:

wie integriere ich:

\int_{0}^{v} (v- \beta(x))f(x) dx

Der erste Teil ist ja recht einfach mit F(x)v aber der zweite Teil bereitet mir Probleme.