Hallo, ich bräucht mal wieder eure Hilfe und zwar bei:
(1 - x^2) / (x^2 + 1)^2
Diesen Bruch soll ich integrieren
(mit den Grenzen 2 und 1)
Das Ergebnis = -1 / 10
Ich komm einfach nicht drauf wie ich hier die Stammfunktion bilden soll.
Guten Tag,
schnelle Antwort:
Stammfunktion ist
x/(1+x^2)
Lösungsweg wird heute abend nachgereicht.
In Eile
Mfg
AGb
Hallo,
um die Stammfunktionen von (1 - x^2) / (1 + x^2)^2 sehe ich 2 Lösungswege.
-
Man erkennt die Ähnlichkeit des Terms zur Ableitungsformel für Brüche:
(a(x) / b(x))’ = (a’(x) b(x) - a(x) b’(x)) / b(x)^2
und setzt b(x) = 1 + x^2 an, also
1 - x^2 = a’(x) (1 + x^2) - a(x) * 2x
wo wiederum die Lösung a(x) = x offensichtlich ist. Eine Stammfunktion ist also
x / (1 + x^2) -
Der umständlichere aber systematischere Weg ist über eine trigonometrische Substitution, z.B. x = tan y.
Dann folgt dx = dy / cos^2 y und wir suchen die Stammfunktion von
(1 - tan^2 y) / (1 + tan^2 y)^2 / cos^2 y
= (cos^2 y - sin^2 y) / (cos^2 y + sin^2 y)^2
= cos^2 y - sin^2 y
= cos 2y
Eine Stammfunktion hiervon ist
1/2 sin 2y
= tan y / (1 + tan^2 y)
= x / (1 + x^2)
Schöne Grüße,
Michael
Guten Tag,
schnelle Antwort:
Stammfunktion ist
x/(1+x^2)
Lösungsweg wird heute abend nachgereicht.
In Eile
Mfg
AGb
Nachtrag:
Lösungswege beschrieben in:
http://www.math.uni-hamburg.de/teaching/export/tuhh/…
oder
http://mathe-online.fernuni-hagen.de/MIB/HTML/node10…
MfG
AGb
Hi,
du musst nit irgendeinem Trick den Bruch umwandeln.
Entweder was kürzen, Polynomdivision oder irgendwie.
Leider hab ich im Moment auch keine Idee.
Leider ist auch nicht der Zähler die Ableitung des Nenners, sonst wär’s der ln.
Tut mir Leid.
unter http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=%281-x*x…
kannst du online Integrieren lassen.
Das Ergebnis ist jedenfalls: x/(x^2+1).
wie man draufkommt kann ich dir leider auch nicht sagen
Hallo Tux86,
selbstverständlich kannst du keine direkte Integration durchführen: man kann nur die ABLEITUNGEN integrieren! (NUMMERISCHE Integration ist was anderes …)
Also, deine Funktion F(x) = (1 - x^2) / (x^2 + 1)^2
Zuerst sollst du diese Funktion differenzieren, als Ergebnis bekommst du die Ableitung F’(x) , anders geschrieben dF/dx . Die Regeln (Ableitungen von Brüchen, danach Ableitungen von Potenzen usw.) findest du im Lehrbuch.
Ich kann nicht für diese Antwort Integral-Zeichen und andere normale mathematische Zeichen benutzen, deswegen sieht mein Text etwas komisch aus:
[Integral für Intervall „1-2“]dF/dx = [Integral bei x = 2]dF/dx - [Integral bei x = 1]dF/dx
Das war’s.
Viel Erfolg!
Hallo Tux86,
die Lösung läuft über eine Substitution x = tan u und dx = (1 + tan^2(u))du.
Bei weiterem Rechenweg, auf den ich hier verzichte, ergibt sich dann als Stammfunktion F(x) = x/(1 + x^2).
Viele Grüße
funnyjonny
Hallo Tux86 (?),
vor sechzig Jahren hätte ich solche Aufgaben noch im Schlaf lösen können, heute benutze ich dazu Mathcad mit Maple im live symbolic mode.
Meine Übung dazu ist abzuholen als Anhang zu meiner Antwort auf eine e-mail an [email protected] .
Michael.
Welche Integrationsmethoden habt ihr gelernt?
Na ja, bei gebrochen-rationalen Integranden ist das meistens Tüftelei
Wenn du an die Ableitungsregel für u(x)/v(x) denkst und jetzt das Umgekehrte versuchen sollst, dann fällt hier der Nenner (x^2 + 1)^2 auf; also könnte v(x)=(x^2 + 1) sein mit v’(x)=2*x. Was aber ist u(x)? Probiert man u(x)=x; u’(x)=1, dann Klappt es tatsächlich schon! Probiere es mal.
Also ist eine Stammfunktion F(x)= x / (x^2+1).
Hallole,
zuerst mal etwas vereinfachen:
( 1 + x^2 )/(1 + x^2)^2 - 2 * x^2/( 1 + x^2 )^2
und kürzen.
Der Nenner ( 1 + x^2 ) legt die Substitution mit Zylinderfunktionen nahe:
sinh ( y ) := x
Dann Additionstheorem f. Zylinderfunktionen sinh und cosh.
Dann dürfte eine Stammfunkion leichter zu erkennen sein.
MfG
G. Aust