Inverse einer 2x2 Matrix mit Einträgen in Schiefkörper

Wissenschaft Mathematik
#1

Liebe Wissende,
ich habe gerade das Problem, für eine 2x2-Matrix mit den Einträgen p,q,r,s in einem Schiefkörper (d.h Körper, einfach ohne Kommutativität, konkret hier die Quaternionen) eine Inverse N zu finden, so dass NM = MN = E gilt.
Im Allgemeinen ist das ja nicht möglich, aber ich darf für die Matrix
M = \begin{pmatrix} p & q \ r & s \end{pmatrix} die Bedingungen s \neq 0 und p \neq qs^{-1}r stellen.

Durch ‚raten‘ habe ich mal eine Lösung gefunden mit der zusätzlichen Annahme q = 0, und zwar N = \begin{pmatrix} p^{-1} & 0 \ -s^{-1}rp^{-1} & s^-1\end{pmatrix} welche NM=MN=E
erfüllt.
Ich suche nun aber noch eine Lösung für q \neq 0 (oder besser q beliebig.)

Kann mir jemand weiterhelfen? (Auch mit Gauss bin ich auf keinen grünen Zweig gekommen.)

gruss niemand

#2

und hilft dir nicht bei der Lösung Deines Problems?

#3

danke für die antwort,
ich sehe aber nicht ganz, wie du da begründen möchtest, dass eine inverses element von (qt-sr) existier? und ausserdem kann ich jedenfalls 1/… notation nicht viel anfangen, da es ja eben keine kommutativität gibt - oder wie kann ich wissen, dass wen man den faktor 1/det auf das erste element q anwendet, ob es dann heissen muss
q * (qt-sr)^-1 oder (qt-sr)^-1 * q?
gruss niemand

#4

ich habe gerade das Problem, für eine 2x2-Matrix mit den
Einträgen p,q,r,s in einem Schiefkörper (d.h Körper, einfach
ohne Kommutativität, konkret hier die Quaternionen)

Hallo niemand,

die Quaternionen werden entweder durch 2x2-Matrizen mit Einträgen in ℂ oder durch 4x4 Matrizen mit Einträgen in ℝ dargestellt, und sowohl ℂ als auch ℝ sind Körper.

Gruß

hendrik

#5

Hi,

spalte nach links und rechts eine Dreiecksmatrix mit Einserdiagonale ab. Das ergibt zwei freie Parameter, die man so wählen kann, dass die verblebende Matrix diagonal ist. Alle drei Faktoren können nun separat invertiert und wieder zusammenmultpliziert werden.

Gruß, Lutz

#6

hallo hendrik
ja diese darstellungformen kenne ich, aber die darstellungsform spielt hier schlussendlich keine rolle. es geht darum dass q,r,s,t je ein quaternion sind.
gruss niemand

#7

hallo lutz,
erst mal vielen dank für deine antwort! habe ich das nun richtig verstanden:
ich soll die matrix M = \begin{pmatrix} p & q \ r & s \end{pmatrix} in ein produkt aus drei matrizen von der form
M = \begin{pmatrix} 1 & t_1 \ 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} d_1 & 0 \ 0 & d_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & t_2 \ 0 & 1\end{pmatrix}
zerlegen (deren inverse sich leicht berechnen lässt)?
(allenfalls auch eine linke untere dreiecksmatrix anstatt beidesmal eine rechte obere?)
nochmal vielen dank für deinen tipp, ich werde es schon mal versuchen!

gruss niemand

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#8

Am Ende sollte sowas wie

M = \begin{pmatrix}
(p-qs^{-1}r)^{-1} &
(r-sq^{-1}p)^{-1} \
(q-pr^{-1}s)^{-1} &
(s-rp^{-1}q)^{-1}
\end{pmatrix}

rauskommen. Die doppelte Inversion lässt sich nicht vermeiden, aber man kann jeden Ausdruck so umformen, dass kein Inverses der Null gebildet wird, wenn eines der Matrixelemente Null ist.

Gruß, Lutz

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