Zur Bestimmung einer inversen Matrix muss ich ein LGS lösen. Dieses hat aber keine eindeutige Lösung.
Heißt das es gibt keine inverse Matrix?
Bitte den Beweis in Mathepedia lesen:
http://www.mathepedia.de/Invertierbare_Matrizen.aspx
Dort wir die Eideutigkeit derinversen Matrix bewiesen.
Das LGS zur Bestimmung der Inversen ist also eindeutig lösbar (oder es wurde vorher was falsch gemacht.
Zur Lösung gibt es etliche eindeutige Lösungswege. Z.B.:
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/inversema…
Danke für die Antwort. Vielleicht habe ich mich nicht richtig ausgedrückt. Deshalb hier mal konkreter:
Übergansmatrix: 0,8 0,1 0,8
0,1 0,1 0,1
0,1 0,8 0,1
aktueller Zustand 90
20
90
Gesucht: Zustand einen Zeitschritt vorher
Hierzu wird die Inverse der Matrix gebraucht. Das führt zum LGS
0,8a1 + 0,1a2 + 0,8 a3 = 90
0,1a1 + 0,1a2 + 0,1a3 = 20
0,1a1 + 0,8a2 + 0,1a3 = 90
Und dieses LGS hat keine eindeutige Lösung
Hierzu wird die Inverse der Matrix gebraucht. Das führt zum
LGS
0,8a1 + 0,1a2 + 0,8 a3 = 90
0,1a1 + 0,1a2 + 0,1a3 = 20
0,1a1 + 0,8a2 + 0,1a3 = 90Und dieses LGS hat keine eindeutige Lösung
Wie Du schon richtig vermutet hast, bedeutet das, dass die Matrix nicht invertierbar ist. Mit der Determinante hättest Du das übrigens einfacher herausfinden können.
Hallo,
deine beiden Probleme sind nicht äquivalent.
Ursprünglich suchst du ja die Lösung des Gleichungssystems
M * a = (90 \quad 20 \quad 90)^T
Wäre M invertierbar (du hast ja bereits herausgefunden, dass das nicht so ist), dann wäre die eindeutige Lösung:
a = M^{-1} * (90 \quad 20 \quad 90)^T
Das ist aber nicht der Fall. Und trotzdem hat das Gleichungssystem Lösungen, nämlich:
a = (t \quad 100 \quad 100-t)^T
Du musst also nicht die Matrix invertieren um die Aufgabe zu lösen.
Und genau das ist vermutlich der Grund, warum du etwas verwunderte Antworten bekommen hast. Dein angegebenes Gleichungssystem hat nämlich eigentlich nichts mit Matrixinversion zu tun. Das Gleichungssystem, mit dem Matrizen invertiert werden, ist üblicherweise:
M*N=I
(wobei I die enstprechende Einheitsmatrix darstellt)
Und dieses Gleichungssystem hat entweder genau eine oder gar keine Lösung. Mehrere Lösungen dafür kann es nicht geben.
Nico