Da es ja nicht darum geht, die diversen Klimavorhersagen zu
überprüfen, sondern das Prinzip zu verstehen, könnte es aber
trotzdem helfen, das mal durchzurechnen.
Es hilft zwar auch nicht völlig, das Prinzip zu verstehen, weil sich die realen Verhältnisse von diesem Modell erheblich unterscheiden, aber ich kann es ja einfach mal aus Spaß machen. Zunächst mal zu Deinem Modell:
Im stationären Zustand muss der Netto-Wärmestrom von jeder Schale zur jeweils darüber liegenden gleich der Heizleistung P sein. Wenn ich die Schalen mit 1 beginnend von oben nach unten durchnummeriere gilt dann nach dem Stefan-Boltzmann-Gesetz:
P = σ·(Tn4-Tn-14)
Daraus folgt
Tn4 = T04 + n·P/σ
wobei T0 die Temperatur der Umgebung (also beispielsweise 2,7 K) ist. Das war es auch schon.
Weil das viel zu einfach war, das Gleiche nochmal für den homogenen Fall:
Anstelle undurchlässiger Schalen nehme ich jetzt ein Medium, das bei allen Wellenlängen den gleichen molaren Absorptionskoeffizienten a hat. Für den Strahlungstransport in diesem grauen Strahler gilt im eindimensionalen Fall die Strahlungstransportgleichung
(1) I’=a·c·(E-I)
Weil es sich bei dem Medium um ein Gas handelt, dessen Dichte nach oben abnimmt und ich die daraus resultierende Höhenabhängigkeit von der Konzentration c nicht kenne, ist diese Gleichung so nicht zu lösen. Deshalb bastel ich sie erst einmal ein wenig um:
I’=n’·dI/dn
c=n’/A
(2) dI/dn=a·(E-I)/A
Damit bin ich die Kontentration schon mal los. Das kann ich jetzt aber noch immer nicht lösen, weil mir die Emission E fehlt. Die hängt vom Temperaturprofil ab, das ich ja eigentlich berechnen will. Um dieses Problem zu lösen, gehe ich genauso vor wie oben. Die Differenz zwischen den aufwärts- und abwärts Strahlungsleistungsleistungen muss im stationären Zustand überall gleich der Heizleistung sein:
(3) U - D = P
Daraus folgt bei konstanter Heizleistung
(4) dU/dn - dD/dn = 0
Für beide Richtungen gelten eigene Strahlungstransportgleichungen:
(5) dD/dn = +a·(E-D)/A
(6) dU/dn = -a·(E-U)/A
Die unterschiedlichen Vorzeichen resultieren dabei aus den entgegengesetzten Richtungen, in die sich die beiden Wärmeströme bewegen. Aus (4), (5) und (6) folgt erst einmal
(7) E = (U+D)/2
und das ergibt zusammen mit (3)
(8) E = D + P/2
und wenn ich das in die Differentialgleichung für den abwärts gerichteten Wärmestrom einsetze, erhalte ich
dD/dn = a·P/(2·A)
und nach Integration
(9) D = Do + n·a·P/(2·A)
Das muss ich jetzt nur noch in Gleichung (8) einsetzen um die Emission zu erhalten:
(10) E = Do + [1 + n·a/A]·P/2
Die Temperatur erhalte ich jetzt wieder über das Stefan-Boltzmann-Gesetz:
E = σ·T4 = σ·T04 + [1 + n·a/A]·P/2
(11) T4 = T04 + [1 + n·a/A]·P/(2·σ)
Die Ähnlichkeit mit der Lösung für undurchlässige Schalen ist nicht zufällig.
