Irrationale Zahl zwischen zwei reellen

Wissenschaft Physik
#1

Hallo,
ich versuche mich gerade mit meinen Problemen der Zahlen auseinanderzusetzen. Mir erscheint es trivial, dass zwischen zwei reellen Zahlen immer mindestens eine irrationale liegt.
Angenommen, ich suche eine zwischen 0 und 1, dann habe ich hierbei große Probleme, eine zu ermitteln. Ich würde es nach dem selben Prinzip machen, wie man die Eulersche Zahl berechnet. Über eine Summe. Nach längerem Ausprobieren würde ich sicherlich fündig werden, aber es gibt nach meinem Verständnis auch eine zwischen 0,4 und 0,5. Wie man sieht, wird der Abstand der reellen Zahlen immer kleiner - und nun tut sich die Frage auf, wie man das allgemein beweisen kann. Komischerweise taucht diese „Eigenschaft“ in den Definitionen der irrationalen Zahlen nicht auf.

HAt jemand ne Idee?

Gruß,
McMike

#2

Hallo,

ich versuche mich gerade mit meinen Problemen der Zahlen
auseinanderzusetzen. Mir erscheint es trivial, dass zwischen
zwei reellen Zahlen immer mindestens eine irrationale liegt.
Angenommen, ich suche eine zwischen 0 und 1, dann habe ich
hierbei große Probleme, eine zu ermitteln.

Nimm eine beliebige irrationale Zahl, z.B. e, und teile sie durch eine groß genuge Zahl, z.B. 4. Mit e/4 hast du eine irrationale Zahl zwischen 0 und 1 gefunden.
Wenn du eine irrationale Zahl zwischen a und b suchst, und a rational ist, kannst du einfach a + e/n nehmen und n hinreichend groß wählen.

wird der Abstand der reellen Zahlen immer kleiner - und nun
tut sich die Frage auf, wie man das allgemein beweisen kann.

s.o: man gibt eine allgeimene Konstruktion dafür an, damit ist die Existenz offensichtlich.

Grüße,
Moritz

#3

Hi McMike,

mein Mathestudium ist schon eine Weile her, aber ich erinnere mich, dass das ein ziemlich zentraler Punkt für die gesamt Analysis war.

Entscheidend ist doch, dass die Menge der rationalen Zahlen Q nicht ausreichend ist, quasi auf der Zahlengerade nicht „dicht“ ist. Du kannst z.B. keine rationale Zahl finden, die mit sich selbst multipliziert 2 ergibt. Du kannst dich in Q zwar beliebig genau annähern, wirst aber die richtige Lösung nie erreichen.
1,4²

#4

Damit ließe sich dann auch zeigen, dass es nicht nur eine sondern sogar beliebig viele irrationale Zahlen zwischen zwei rationalen Zahlen gibt, denn man kann diese Konstruktion für alle irrationalen Zahlen machen. Wenn man jetzt superstreng sein will, sollte man noch zeigen, dass die Muliplikation einer rationalen Zahl mit einer irrationalen Zahl wieder irrational ist :smile:
Greetz,
Timo

#5

hi,
konstruier dir eine.

z.b. nimm zwei reelle zahlen. dann gibt es eine früheste kommastelle, an der sie sich unterscheiden. anhand dieser kannst du eine endliche dezimalzahl c angeben, die zwischen den gegebenen zahlen liegt. an diese hängst du dann für die lösung d eine kette von stellen (etwa) der form
01001000100001…
an (die von ausreichend vielen nullen angeführt wird).

z.b.: a = 1,23799, b = 1,238
c = 1,237995
d = 1,23799501001000100001…

hth
m.

ich versuche mich gerade mit meinen Problemen der Zahlen
auseinanderzusetzen. Mir erscheint es trivial, dass zwischen
zwei reellen Zahlen immer mindestens eine irrationale liegt.
Angenommen, ich suche eine zwischen 0 und 1, dann habe ich
hierbei große Probleme, eine zu ermitteln. Ich würde es nach
dem selben Prinzip machen, wie man die Eulersche Zahl
berechnet. Über eine Summe. Nach längerem Ausprobieren würde
ich sicherlich fündig werden, aber es gibt nach meinem
Verständnis auch eine zwischen 0,4 und 0,5. Wie man sieht,
wird der Abstand der reellen Zahlen immer kleiner - und nun
tut sich die Frage auf, wie man das allgemein beweisen kann.
Komischerweise taucht diese „Eigenschaft“ in den Definitionen
der irrationalen Zahlen nicht auf.

HAt jemand ne Idee?

Gruß,
McMike

#6

Hallo,

oder noch einfacher: Für alle rationalen a und b ist z. B.

a + π/6 (b – a)

eine zwischen a und b liegende irrationale Zahl. Man kann sogar genauer sagen, wo sie sich befindet, nämlich ungefähr in der Mitte, aber etwas näher an b als an a.

Mit freundlichem Gruß
Martin

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#7

Hi!

Man kann das „abstrakt“, also ohne „Rechnerei“ wie folgt einsehen. Dazu muss
man wissen: Die rationalen Zahlen Q sind abzählbar unendlich: D.h., ich kann
von den rationalen Zahlen eine Liste machen (die rationalen Zahlen Q sind ja
die „Verhältnisse“ n/m mit n und m aus den ganzen Zahlen; diese kann man (nach
etwas Überlegung) in einer (unendlichen :smile:) Liste systematisch aufschreiben,
aber das will ich hier nicht vertiefen, das ist jetzt nicht der Punkt). Die
reellen Zahlen R sind NICHT abzählbar. D.h. ich kann von den reellen Zahlen
keine Liste anfertigen. Das gilt aber schon für JEDES (echte) Teilintervall
[a,b] der reellen Zahlen ( a

#8

Warum?
Moin zusammen.

oder noch einfacher: Für alle rationalen a und b ist z. B.

a + π/6 (b – a)

eine zwischen a und b liegende irrationale Zahl. Man kann
sogar genauer sagen, wo sie sich befindet, nämlich ungefähr in
der Mitte, aber etwas näher an b als an a.

Wie kommt man denn auf so etwas?

Ich meine, (b-a) ist ja nichts weiter als der Abstand zwischen a und b. Wenn ich nun als (b-a) zu a addiere, komme ich zum „Punkt“ b, wenn ich das mal auf einer Zahlengerade einmale.
(b-a) muss also kleiner als 1 sein, um noch zwischen a und b zu liegen. Statt π/6 könnte man also auch π/1000 oder e/3 nehmen können. Oder?

Viele Grüße
Disap

#9

Moin Moin.

sein will, sollte man noch zeigen, dass die Muliplikation
einer rationalen Zahl mit einer irrationalen Zahl wieder
irrational ist :smile:

Das würde mich interessieren.
Rechnest du das auch vor? :wink:

MfG!
Disap

#10

Hallo,

sein will, sollte man noch zeigen, dass die Muliplikation
einer rationalen Zahl mit einer irrationalen Zahl wieder
irrational ist :smile:

Das würde mich interessieren.
Rechnest du das auch vor? :wink:

Beweis durch Widerspruch: Sei a = a1/a2 rational und b irrational (a1, a2 ganzzahling).
Sei nun c = a * b rational, dann ist es auch als Bruch darstellbar:
c = c1 / c2, (c1, c2 ganzzahlig).
Dann wäre b = c / a = c1/c2 / (a1/a2)
= c1 * a2 / (c2 * a1) und damit rational, Widerspruch zur Behauptung => Q.E.D.

Grüße,
Moritz

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#11

Hallo,

a + π/6 (b – a)

Wie kommt man denn auf so etwas?

Ich meine, (b-a) ist ja nichts weiter als der Abstand zwischen a und b.

Ja, genau.

Wenn ich nun als (b-a) zu a addiere, komme ich zum
„Punkt“ b, wenn ich das mal auf einer Zahlengerade einmale.

So ist es. Und malen ist nie verkehrt! :smile:

(b-a) muss also kleiner als 1 sein, um noch zwischen a und b zu liegen.

Nicht (b – a), sondern der Koeffizient davor, also in meinem Beispiel das π/6.

Statt π/6 könnte man also auch π/1000 oder e/3 nehmen können. Oder?

Jaaaaa, Du hast es verstanden lächel. Du kannst das π/6 durch jede Zahl k ersetzen solange diese a) echt zwischen 0 und 1 liegt, und b) irrational ist. Bei π/1000 ≈ 0.00314… liegt Dein Ergebnis dann sehr nahe an a, bei e/3 ≈ 0.906… einigermaßen nahe an b.

Mit freundlichem Gruß
Martin

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#12

Es fehlt noch a != 0

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#13

Hi,
wenn ich nichts wesentliches übersehen hab, beweist du damit aber nur, das „mehr“ irrationale als rationale Zahlen gibt. Die könnten sich aber ja auch an bestimmten Stellen sammeln.

Das der Beweis nicht ausreicht, kann man auch daran sehen, dass es zweischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen immer auch eine weiter rationale Zahl gibt:

seien a

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#14

Hi!

Nochmal zum Problem: Es ging darum zu zeigen, dass zwischen zwei rationalen
Zahlen stets eine irrationale liegen muss.

wenn ich nichts wesentliches übersehen hab, beweist du damit
aber nur, das „mehr“ irrationale als rationale Zahlen gibt.

Nein: Mein wesentlicher Punkt war, dass mein Beweis für JEDES Intervall [a,b]
mit a