Irrationale Zahlen - Erklärungs- bzw. Erziehungshilfe

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo zusammen,
mein Sohn (14 Jahre) hat ein echtes Problem: Gymnasium 8 Klasse - Irrationale Zahlen!
Es ist nicht so, dass er es nicht kapiert, jedoch möchte er von mir (Realschule vor X² Jahren) wissen, wofür er „irrationale Zahlen“ braucht bzw. warum er beweisen soll, warum eine Zahl irrational/rational ist.
Wenn ich ihm keine plausible Erklärung liefern kann, verweigert er die Teilnahme am Matheunterricht :smile:
Meine Erklärung, dass man in der Schule so manches lernt, was man im harten Alltag eines Arbeitnehmers nie mehr braucht, reicht nicht.

Kann mir jemand verständliche, praktische Beispiele nennen?

Ach ja, mit 4 Jahren wollte er wissen: „wo ist die Mitte hin, wenn man den Pfannenkuchen durchschneidet?“
Leider finde ich meinen Eintrag von damals nicht mehr. Was ich damit sagen will, er lässt sich nicht mit der Antwort abspeisen: „das ist halt so“ :smile:)

Vielen Dank schon mal
Chrisma

#2

Hallo Chrisma,

ohne deinen Sohn zu kennen weiss ich natürlich nicht, welchen Argumenten er zugänglich ist. Tatsache ist: Nicht alles lässt sich durch rationale Zahlen ausdrücken. Zwar ist eine beliebige Näherung möglich, aber die einzig exakte Antwort auf die Frage: Was ist die Quadratwurzel aus 2? ist: Die Quadratwurzel aus 2. 1,414213562373… ist nur so ungefähr richtig. Das mag für die meisten praktischen Anwendungen egal sein.
Nur mit (rationalen) Näherungen zu rechnen ist aber nicht sinnvoll, denn es ist oft komplizierter. Das mag einem der Taschenrechner abnehmen. Aber: Dass Wurzel(2) zum Quadrat 2 ist, ist trivial. 1,414213562373²? Weiss kein Mensch. Nach fürchterlich aufwendiger Multiplikation kommt man drauf: so ungefähr 2.
Oder: Man kann ohne viel Aufwand herleiten, dass die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks die halbe Seitenlänge mal Wurzel(3) ist. Das kann man sich merken. Dass die Höhe 0,86602540378444 Mal die Seitenlänge ist, eher nicht, und ungenau ist es obendrein.

Ohne derlei kann man zweifellos die meisten Aufgaben des Alltags bewältigen. Das kann man aber auch, ohne ein Wort Französisch zu verstehen und ohne zu wissen, dass die Kastanie nahe mit der Eiche, nicht aber mit der Rosskastanie verwandt ist. Aber wenn man sich nur für Dinge interessiert, von denen man sicher weiss, dass man sie praktisch einsetzen kann, führt das unweigerlich dazu, dass man Vieles, das man doch sehr gut gebrauchen könnte, nicht kann.

Ich hoffe, da ist ein bisschen Argumentationshilfe dabei. Viel Spass bei der Erklärung, warum komplexe Zahlen ihre Daseinsberechtigung haben. (Sollte in ca. 3 Jahren ein Thema sein. Stichwort: Elektrotechnik.)

mfg SdV

#3

Man kann auch das Spiel spielen, soviel rationalen Anteil aus sqrt(2) oder sqrt(3) oder sqrt(5) wie möglich herauszuholen.

So ist 2*sqrt(2)=sqrt(8)=3*sqrt(1-1/9), also schonmal ziemlich dicht dran

3*sqrt(2)=sqrt(18)=4*sqrt(1+1/8), nicht ganz so dicht,

4*sqrt(2)=sqrt(32)=6*sqrt(1-1/9) ist das selbe, wie zwei weiter oben,

5*sqrt(2)=sqrt(50)=7*sqrt(1+1/49) ist eine wesentliche Verbesserung

7*sqrt(2)=sqrt(98)=10*sqrt(1-1/50) ist in etwa genauso gut, nur mit Abweichung in der anderen Richtung,

…

Gruß, Lutz

#4

Hallo,

vielleicht hilft dir ja ein Vergleich mit den Ganzen Zahlen weiter.
Die Ganzen Zahlen kann man ja dadurch motivieren, dass man weiß, dass man in den Natürlichen Zahlen nicht beliebig subtrahieren kann. Wenn ich 1 und 3 subtrahiere, kommt etwas heraus, was es in den Natürlichen Zahlen gar nicht gibt. Da wir aber trotzdem mit solchen Zahlen rechnen wollen, erweitern wir den Zahlenraum zu den Ganzen Zahlen. Wir müssen dabei überlegen, ob die bisherigen Rechenoperationen in dem neuen Zahlenraum genau so gültig sind oder ob es einer Überarbeitung bedarf. So müsste bspw. die Multiplikation den neuen Gegebenheiten (Vorzeichen) angepasst werden.
Ähnlich ist das mit den Reellen Zahlen. Im Bereich der Gebrochenen Zahlen (also alle positiven Rationalen Zahlen) können wir nicht beliebig Wurzelziehen. Irgendwann erhalten wir etwas, was gar nicht in den Rationalen Zahlen liegt - etwas irrationales. Da wir aber trotzdem damit rechnen wollen, erweitern wir den Zahlenbereich zu den Reellen Zahlen. Dabei prüfen wir wieder, ob die gewohnten Rechenregeln zutreffen und siehe da - wir haben neue Zahlen gefunden, mit denen wir genau so rechnen können wie gehabt.

Nico

#5

Erklärungs- bzw. Erziehungshilfe - liefer beides!
Hallo Chrisma,

mein Sohn (14 Jahre) hat ein echtes Problem: Gymnasium 8: Klasse - Irrationale Zahlen!

wenn das nicht zu früh ist! Die meisten sinken ins Grab, ohne je davon gehört zu haben. Und das nicht ohne Grund.

Denn erst mal ist es ärgerlich, wenn negative Zahlen keine Wurzeln haben. Schränkt das Rechnen unnötig ein. Und da gibt’s dann auch was von Ra… den Mathematikern.

Es ist nicht so, dass er es nicht kapiert, jedoch möchte er
von mir (Realschule vor X² Jahren) wissen, wofür er
„irrationale Zahlen“ braucht bzw. warum er beweisen soll,
warum eine Zahl irrational/rational ist.

Klar bist du da überfordert. Aber es ja nicht so, dass die Mathematik die Natür beschreibt, aber sonderbarerweise ist die Mathematik meist schon fertig, wenn sich ein neues Naturphänomen zeigt, und beschrieben werden muss. Und folgendes Beispiel habe ich auch nicht erfunden, sondern aus den legendären Feynman-Vorlesungen.

Wie du sicherlich weißt, ist i die Wurzel aus -1. Wenn ich dann i hoch x rechne, erhalte ich folgende Werte:
i hoch 1 = i
i hoch 2 = -1
i hoch 3 = -i (i * -1)
i hoch 4 = +1 (-1 * -1)
i hoch 5 = i
usw.

Und glaub es mir einfach mal, wenn ich für x nicht ganze Zahlen nehme, sondern es kontinuierlich steigere, ergeben sich für die rationalen und auch für die irrationalen Anteile des Resultats hübsche Sinuskurven, bzw. Cosinus.

Indem ich einfach eine Potenz verwende, statt komplizierter geometrischer Konstrukte, vereinfacht sich die ein’ oder andere Rechnung doch deutlich. Aber ich selbst habe das erst deutlich nach der Schule (Abitur) gelernt.

Und weitere Beispiele können dir sicher die Physiker liefern, wo die Verwendung irrationaler Zahlen die Beschreibung ver einfacht.

Wenn ich ihm keine plausible Erklärung liefern kann,
verweigert er die Teilnahme am Matheunterricht :smile:

Wenn ihm dies nicht reicht, frag gern nach. Abgesehen sollte auch der Lehrer den nach dem französichen Philosophen Tellerrand bezeichneten Horizont eigentlich überschreiten können.

Meine Erklärung, dass man in der Schule so manches lernt, was
man im harten Alltag eines Arbeitnehmers nie mehr braucht,
reicht nicht.

Nun ja, wirklichen Einfluss hat man auf Kinder dieses Alters nur indirekt. Sie bestimmen, was sie annehmen.

So wahr das Statement deines Sohnes ist, geht es darum überhaupt nicht. Vielleicht überzeugt ihn ja folgendes:

  1. Wenn man gar nichts lernt, weiß man auch nicht, was gebraucht wird
  2. Man lernt auch das Lernen
  3. Das Leben ist keine Generalprobe, sondern die Premiere, ohne Wiederholung
  4. Wer nur das weiß, was er wissen muss, hat auch schnell dern Ruf weg
    …
  5. Wissen ist Spaß
    Und ehrlich gesagt habe ich eher den Eindruck, dass er das schon teilweise verstanden hat.

Ach ja, mit 4 Jahren wollte er wissen: „wo ist die Mitte hin,
wenn man den Pfannenkuchen durchschneidet?“

Solche Erlebnisse haben viele Eltern, ist noch kein Hinweis auf eine Hochbegabung :wink: Aber dass er fragt, wozu er das oder das lernen soll, das ist sein gutes Recht und deutet auf eine gewisse Beharrlichkeit hin. Ein wichtiger Charakterzug.

Zum Glück sind wir ja nicht in „Psychologie“, denn eine Ferndiagnose aufgrund eines einzelnen Vorfalls ist gewagt.

Gruß, Zoelomat

#6

Hallo;

das nächste Mal überprüfen, dass du auch über das richtige schreibst.

Zur Not: Selbst den Unterschied zwischen
rational - irrational und
reell - irreell / komplex
herausarbeiten.

Bis auf diese Ungenauigkeit - und damit einen nicht relevanten ersten (fachlichen) Teil dennoch sicherlich ein hilfreicher Beitrag.

mfG

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#7

Dank für den Hinweis Thema verfehlt
Hi DevilSuichiro

das nächste Mal überprüfen, dass du auch über das richtige
schreibst.

da ist ist wohl irgendwas in mir durchgegangen, weil alles weit zurückliegt. Und das Gefühl überbordete. Irrationale Zahlen scheinen mir halt verglichen mit den irreellen sehr rational.

Zur Not: Selbst den Unterschied zwischen
rational - irrational und
reell - irreell / komplex
herausarbeiten.

Hoff mal, dass du das hinreichend erledigt hast, ansonsten bleibt nur der Wunsch nach Entschuldigung bei allen Beteiligten.

Trotzdem für alle nochmal: Irrationale Zahlen sind solche, die sich nicht durch einen Bruch Ganzer Zahlen darstellen lassen. Und das ist auch für einen Vierzehnjährigen nachvollziehbar, nicht ohne angemessene Mühe. Wobei alle sonstigen Beiträge eingeschränkt gültig bleiben.

Bis auf diese Ungenauigkeit - und damit einen nicht relevanten ersten (fachlichen) Teil dennoch sicherlich ein hilfreicher Beitrag.

Fällt schwer, trotz „Thema verfehlt“ ein Lob zu akzeptieren. Aber ich schaff’s irgendwie. Genau gesagt bedeuted es mir viel, im Land der Nerds Gnade zu finden.

Wer’s versteht, mag’s versteh’n, an allen anderen ein lieben Gruß, Zoelomat

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#8

Au weia!
Hallo Chrisma,

erst mal Entschuldigung für meinen letzten Beitrag.

Hatte da irrationale mit den irreelen Zahlen verwechselt. Die schon ein Kapitel für sich sind. Aber auch die irrationalen sind nicht ganz ohne. Ob Wurzel aus 2, Pi oder unendlich viele andere, sie sind halt unendlich kompliziert. Nicht 1,41356… oder ungefähr 31/7, sondern in „unserem“ Zahlen und Denksystem nicht darstellbar.

Und entgegen meinen vorherigen Beispielen und Ausführungen hilft da nur ein Hinweis auf den Boden der Tatsachen. Solche Zahlen gibt es halt, ob du’s wahr haben willst, oder nicht.

Und der Handwerker nimmt auch keine Notabschaltung vor, wenn sich Pi mal Daumen nicht genau ausrrechnen lässt.

Auf’s rechte Niveau gesenkt ist nach wie vor die Frage nach dem „wozu“ hilfreich.

'Tschuldigung nochmal, Zoelomat

#9

Hallo Chrisma,

Es ist nicht so, dass er es nicht kapiert, jedoch möchte er
von mir (Realschule vor X² Jahren) wissen, wofür er
„irrationale Zahlen“ braucht bzw. warum er beweisen soll,
warum eine Zahl irrational/rational ist.

Er kann sich viel Rechenarbeit sparen, wenn er beweist, dass eine Zahl irrational ist :wink:

Die bekannteste irrationale Zahl ist wohl Pi und Pi kommt auch im täglichen Leben öfters vor.

Für eine irrationale Zahl gibt es keine numerische Lösung, sondern nur eine Näherung! Man kann also mit der Rechnerei aufhören, wenn das Resultat, entsprechend den Anforderungen, genau genug ist.
Andernfalls wäre er mit seiner ersten Kreisberechnung den Rest seines Lebens beschäftigt …

MfG Peter(TOO)

#10

Hi,

Mathematik ist „Denksport“, „Lego mit anderen Miteln“ oder ein „Abenteuer, bei dem man sogar ganze Welten selbst erfinden kann“.

So wie Duplo irgendwann nicht mehr reicht, und man kleinere Teile möchte, oder nach den Lego-Quadern speziellere Teile, geht es auch in der Mathematik:
Irgendwann reichten der Menschheit die ganzen Zahlen nicht mehr und man brauchte was „dazwischen“: Die Brüche wurden geboren.
Und dann stellte sich irgendwann di Frage ob es auch „zwischen denen“ noch etwas gibt, bzw. es wurden Zahlen gefunden und verwendet, die sich partout nicht als Brüche darstellen lassen wollten, z. B. Wurzel 2, Wurzel 3, Pi oder e. Alle Wurzeln, die keine ganzen Zahlen oder Brüche als Ergebnis haben erzeugen irrationale Zahlen.

Ingenieure und Normalbürger würden diese Zahlen (falls überhaupt) einfach benutzen oder gar aufrunden. Für Mathematiker sind solche Vereinfachungen unbefriedigend und unter ihrer Würde. Da wird dann halt mal intensiv nachgeschaut (=bewiesen) ob das nun Brüche sind oder nicht.

Einen solchen Beweis zu heute nochmals zu führen, ist wie den ersten Abenteueren „über die Schulter zu schauen“ oder eben selbst ein bisschen zu lernen, wie man gründlich an so eine Sache heran geht.

Wenn dann bewiesen ist, dass es keine Brüche sind muss die sache schließlich noch einen Namen bekommen: Irrationalzahlen.

Dass es noch weitere Zahlenwelten gibt (z. B. über und unter dem Zahlenstrahl) wurde aus der Thema-verfehlenden Antwort zu den imaginären Zahlen (i) deutlich.

> „wo ist die Mitte hin, wenn man den Pfannenkuchen durchschneidet?“
Leider finde ich meinen Eintrag von damals nicht mehr.
Man zieht 2 Linien durch den Kreis (=Sekanten) Auf jede Linie stellt man die Mittelsenkrechte. Wo sich die Mittelsenkrechten schneiden ist, bzw. war der Kreismitelpunkt.

Schöne Grüße
JK

#11

Ich versuche mich auch einmal, weil wegen Erklärung des selben.
Die Problematik geht auf die Griechen zurück: Alle Welt ist Zahl und die gewachsene Zahlenwelt zur Beschreibung der letztgenannten war das, was wir heute Natürliche Zahlen, Ganze Zahlen und Rationale Zahlen nennen. Eine Strecke, eine geometrische Figur war durch aufschreibbare, begreifbare Zahlen darstellbar bis hin zu Brüchen.
Bei der Betrachtung z.B. eines besonderen Quadrates mit der Seitenlänge 1 berechnete sich die Diagonale, also ein real darstellbare Strecke zu
\sqrt{2} .
Wir haben heute noch das Problem, genauso wie die Griechen, dass diese Zahl quasi nicht aufschreibbar ist - es gibt keinen Bruch, keine Zahl in der angesprochenen Zahlenwelt, die diese Stecke darstellen könnte. Im Gegensatz zu den Griechen haben wir und nur daran gewöhnt diese Strecke näherungweise durch eine Dezimalbruchkette darzustellen: Es ändert aber nix daran das es KEINE exakt aufschreibbare Zahl gibt, die die in diesem Fall real exakt existierende Strecke darstellen könnte - für die Griechen war das irrational…

Viel Spaß noch mit irrationalen Zahlen
pda

#12

Hi,

ich glaube die Frage nach der Mitte geht eher in die Richtung, welche Hälfte denn die Mitte hat, nachdem der Pfannkuchen „in der Mitte“ durchgeschnitten wurde.

Wobei wir themengerecht auch schon bei den Dedekind-Schnitten angekommen sind… Oder auch nicht. Wobei, je nach Schulbuch/Lehrplan wird die Diskussion irrationaler Zahlen durch die Behandlung von Intervallarithmetik/Intervallschachtelungen begleitet, was nicht so weit weg von Richards Überlegungen aus 1853 ist…

Gruß, Lutz

#13

Ähm, du hast richtig gelesen? Mein Sohn ist 14 und ich habe nur Realschule?!
Aber trotzdem Danke :smile:

#14

Hallo,

mein Sohn (14 Jahre) hat ein echtes Problem: Gymnasium 8
Klasse - Irrationale Zahlen!
Es ist nicht so, dass er es nicht kapiert, jedoch möchte er
von mir (Realschule vor X² Jahren) wissen, wofür er
„irrationale Zahlen“ braucht bzw. warum er beweisen soll,
warum eine Zahl irrational/rational ist.
Wenn ich ihm keine plausible Erklärung liefern kann,
verweigert er die Teilnahme am Matheunterricht :smile:
Meine Erklärung, dass man in der Schule so manches lernt, was
man im harten Alltag eines Arbeitnehmers nie mehr braucht,
reicht nicht.

Kann mir jemand verständliche, praktische Beispiele nennen?

Bevor die irrationalen Zahlen behandelt wurden hat dein Sohn doch schon eine Menge über Zahlen gelernt, immerhin ist er ja schon in der 8. Klasse. Zum Beispiel weis er bestimmt was Quadratzahlen sind. Und er weis auch was Brüche sind. Dieses Wissen sollte er jetzt kombinieren. Du könntest ihm ja mal die Aufgabe stellen (er hat jetzt viel Zeit denn er geht nicht zur Schule), die Quadratzahlen von eins bis Tausend aufzuschreiben. Und dann soll er versuchen, daraus Brüche zu bilden die sich zur „zwei“ herauskürzen. Und du solltest gemeinsam mit ihm zu überlegen, warum er beim Aufstellen der Quadratzahlen für diese Aufgabe von vornherein nur die geraden Quadratzahlen zu berücksichtigen braucht.
Wenn ihr das gemacht habt, könnt ihr euch ja mal überlegen, welches allgemeine Schema es für die Bildung von geraden Quadratzahlen gibt und warum (als Bruch formuliert) demnach niemals als Teilungsergebnis die „zwei“ herauskommen kann. Oder anders: Zeige, dass es keinen Quadratzahlbruch gibt, dessen Teilungsergebnis die „zwei“ ist. Was natürlich ein schlechtes Licht auf Quadratzahlbrüche wirft. Sie liefern nicht immer was man will. Und wenn im harten Alltag nicht geliefert wird was man will, sucht man sich einen anderen Lieferanten. Ein neues Lieferantenverzeichnis könnte deinem Sohn ggf. in der Schule mitgeteilt werden. Dazu müsste er jedoch erst wieder hingehen.

mfg

Peter