Ich suche einen Algorithmus der bei einem Polynom
z.B. x^8 + x^y2 + x^y1 + x^y0 + 1 die Potenzen y0-y2 findet, die ein irreduzibeles Ploynom ergeben.
Oder allgemein einen Algorithmus, der ein vorgegebenes Polynom z.B. x^17 + x^14 + 1 auf seine Irreduzibelität hin prüft!
Danke
H. Biegler
Passt dies?
http://www.zahlreich.de/hausaufgaben/messages/9308/6…
Gruss
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Es kommt darauf an, ueber welchem Koerper du das spielst.
Z.B. zerfaellt ueber den Komplexen Zahlen jedes Polynom in
Linearfaktoren, die Irreduziblen Polynome waeren also nur die
ersten Grades. Jedes Polynom ueber den Reelen Zahlen zerfaellt in
Quadratische und lineare faktoren. Ein Polynom koennte also
hoechstens irreduzibel sien, wenn es zweiten Grades ist und zwei
Komplexe Nullstellen hat.
Fuer Polynome hoeheren Grades als 4 nutzt Dir das gar nichts, da
das auffinden der Faktoren das Auffinden der Nullstellen ermoeglichen wuerde, was mit algebraischen Methoden nicht moeglich ist. Du muesstest also mit einem „herkoemmlichen“ Naeherungsverfahren die Nullstellen suchen und dann versuchen,
die entsprechenden Faktoren abzuspalten.
Ueber anderen Koerpern und Ringen z.B. Q oder Z oder einem endlichen Koerper ist das ganze schwieriger. Hier gibt es m.W. keine effiziente Methode. Es gibt ein paar hinreichende Kriterien, z.B. das beruehmte Eisenstein-Kriterium. Das findest Du in jedem besseren Algebra Buch.
MfG
Martin
Nehmen wir das Beispiel x^17 + x^14 + 1:
Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, dann muss ich
die Nullstellen (wie auch immer) suchen. Jetzt weiss ich nur nicht, wie die entsprechenden Faktoren abzuspalten sind.
Wenn ich das richtig sehe, dann ist ein Ploynom irreduzibel, wenn es sich nicht aufspalten lässt.
Es wäre nett, wenn du mir an dem obigen Beispiel, das mal zeigen könntest!
M.f.G.
Heiko
Nehmen wir das Beispiel x^17 + x^14 + 1:
Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, dann muss ich
die Nullstellen (wie auch immer) suchen. Jetzt weiss ich nur
nicht, wie die entsprechenden Faktoren abzuspalten sind.
Wenn ich das richtig sehe, dann ist ein Ploynom irreduzibel,
wenn es sich nicht aufspalten lässt.Es wäre nett, wenn du mir an dem obigen Beispiel, das mal
zeigen könntest!
Da ich bei obigem Beispiel die Nullstellen nicht sehen kann,
nehmen wir was einfacheres:
x^4+x^2-2=0
Wie man leicht sieht, ist 1 eine Nullstelle. Jetzt machen wir Polynom-dvidion:
x^4+x^2-2/(x-1)=x^3+x^2+2x+2
-x^4+x^3
-x^3+x^2
-x^2+2
Damit haben wir x^4+x^2-2 in die Faktoren (x-1) und x^3+x^2+2x+2 aufgespalten.
MfG
Martin