Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo liebe community!
Ich wollte euch fragen, ob ihr, wie oben bereits genannt, bei einer aufgabe in meinem mathebuch helfen könnt.
Ich bin eigentlich nicht so schlecht in mathe, aber ich komme einfach nicht auf die Lösung. Könntet ihr mir evtl. einen losungsweg zeigem, ich muss das nämlich unbedingt verstehen, weil wir morgen eine Arbeit schreiben und mir bisher noch keiner helfen konnte:frowning:
Hier die Aufgabe:
Modelliere ein Reagenzglas mithilfe einfacher körper. Es soll ein Fassungsvermögen von 40 cm^3 aufweisen. Bestimme, bei welchen Abmessungen sich ein minimaler Materialverbrauch ergibt. Bewertete das erhaltene Ergebnis.

Vielen Dank schon mal im Voraus!

#2

Modelliere ein Reagenzglas mithilfe einfacher körper.

Das bedeutet unten Halbkugel und darauf ein Zylinder, oben offen.
Es soll

ein Fassungsvermögen von 40 cm^3 aufweisen.

Also V= 40 ccm, dh. V= Volumen_Zylinder+Volumen_Halbkugel= 40
Die Halbkugel ist nur vom Radius abhängig, Formel für Kugel kannste nachschlagen, halbieren, Halbkugel
Der Zylinder hat den gleichen Radius wie die Halbkugel
und wird noch von der Höhe bestimmt.
Alles einsetzen, Gleichung umstellen nach h. Das kriegste bestimmt hin, weil du ja gut in Mathe bist.

Jetzt stellst du die Oberflächenformel des zusammengesetzten Körpers auf:
Halbkugeloberfläche + Zylindermantelfläche (2 mal pi mal r mal h)
Du setzt für h nun ein mithilfe der oben umgestellten Gleichung.

Nun hast du eine quadratische Funktion, die von r (Radius) abhängt und die Oberfläche angibt.
Da das Oberflächenmaterial minimal sein soll und der Graph eine Parabel ist, ist der minimalste Wert der Scheitelpunkt.
Bestimme also nun den Scheitelpunkt (Ich hoffe, dass du das kannst, da du ja gut in Mathe bist)
Die erste Koordinate gibt den Radius an, bei dem die Oberfläche minimal ist, die zweite Koordinate gibt die minimale Oberfläche an.
Die Höhe des Zylinders kannst du durch Einsetzen der Werte vom Radius in die umgestellte Volumenformel einsetzen.
Damit kannst du auch die Rechnung prüfen: Es muss ja 40ccm herauskommen.

Beachte bei den Abmaßen des Reagenzglas noch: Die Höhe des Reagenzglases ist die Höhe des Zylinders plus den Radius der Halbkugel.

lg
PS: Melde dich halt noch mal, wenn was unklar ist
Bestimme, bei

welchen Abmessungen sich ein minimaler Materialverbrauch
ergibt. Bewertete das erhaltene Ergebnis.

Vielen Dank schon mal im Voraus!

#3

Hallo,

das geht so:
Ein reagenzglas besteht aus einem Zylnder und einer aufgesetzten Halbkugel. D.h. es gibt zwei Parameter, die die Sache bestimmen Radius r des Zylinders und Höhe h desselben.

Jetzt stellt man die Formeln für Volumen und Oberfläche des Reagenzglases zusammen:
V(r,h) = pi * r^2 * h + 1/2 * 4/3 * pi * r^3
U(r,h) = 2 * pi * r * h + 1/2 * 4 * pi * r^2

Jetzt setzt man V(r,h) = 40, löst die Sache nach h auf und setzt das in U(r,h) ein. Damit hängt U nur nach von einem Parameter, nämlich r ab! Jetzt kann man U nach r ableiten und eine einfache Maximum/Minimum-Rechnung machen (1. Ableitung = 0 setzen usw.)

Viel Erfolg!
Dietmar.

#4

Guten Abend,

Aufgabe:
Modelliere ein Reagenzglas mithilfe einfacher körper. Es soll
ein Fassungsvermögen von 40 cm^3 aufweisen. Bestimme, bei
welchen Abmessungen sich ein minimaler Materialverbrauch
ergibt. Bewertete das erhaltene Ergebnis.

Vielen Dank schon mal im Voraus!

Grundfragen:

  1. Was ist minimaler Materialverbrauch?
    Antwort: Oberfläche des Reagrenzglas soll minimal werden.

  2. Welche einfachen Körber kommen in Frage?
    Antwort: Halbkugel mit aufgesetzten kreisförmigen Zylinder.

  3. Was ist zu tun?
    Radius der Halbkugel und des Zylinders so bestimmen, dass minimale Oberfläche bei gefordertem Volumen erreicht wird.

Lösungsweg:

  1. Ermitteln Volumen von Halbkugel in Abhängigkeit von Radius r (Formel in Formelsammlung nachschlagen!)

V_{HK} = 2 * \pi * r^{3}

  1. Ermitteln Volumen des Zylinders (Formelsammlung!!!)

V_{Z} = 2 * \pi * r^{2}* h

Auflösen nach h

h = \frac{V_{Z}}{2 * \pi * r^{2}}

  1. Ermitteln erforderliches Volumen des Zylinders:

V_{Z erf} = 40 - V_{HK}

  1. Ermitteln erforderliche Höhe des Zylinders:

h = \frac{V_{Z erf}}{2 * \pi * r^{2}}

Zwischenergebnis:
Jetzt sind alle Variablen bekannt,
mit denen die Oberfläche des Reagenzglas berechnet werden kann:

  1. Oberfläche Halbkugel (Formelsammlung!!)

O_{HK} = 2 * \pi * r^{2}

  1. Oberfläche Mantelfläche Zylinder:

O_{Z} = 2 * \pi * r * h

natürlich muss noch der Wert für h (Nr. 3) eingesetzt werden!

  1. Gesamtoberfläche Reagenzglas:
    Summe Nr.5 und Nr. 6

O_{RG} = O_{HK}+O_{Z}

  1. Suchen Minimum

Gleichung Nr. 7 nach r differenzieren,
in Ableitung Nullstelle von r suchen.

Das kannst Du selber!!

Das isr der Radius des Reagenzglases, bei dem eine minimale Oberfläche erzielt wird.

Viele Grüße

AGb

#5

Vielen Dank ihr habt mir sehr geholfen

#6

Vielen DAnk!

#7

Super Danke!

#8

Hallo Shaunel,

ich nehme mal an, dass unter einfachen Körpern einmal ein Zylinder, eine Säule mit quadratischer Grundfläche oder eine Kugel gemeint sind. Bei der Kugel ergibt sich aufgrund der Formeln für Kugelvolumen und Kugeloberfläche ein Oberflächenmaterial von 56,5619 cm^3. Für diese Bestimmung ist keine Differentialrechnung notwendig, sondern lediglich die Kenntnis der Formeln für Volumen und Oberfläche der Kugel. Das Volumen ist ja mit 40 cm^3 gegeben. Die Oberfläche lässt sich dann ausrechnen.
Bei den anderen beiden Körpern handelt es sich um eine Optimierungsaufgabe oder Min-Max-Aufgabe. Es soll jeweils das Oberflächenmaterial minimiert werden. Beim zylinderförmigen Reagenzglas ergibt sich die Zielfunktion durch die Formel
F(r,h) = r^2.Pi + 2r.pi.h --> Min
Die Nebenbedingung lautet:
V(r,h) = r^2.pi.h = 40
Die Nebenbedingung kann nun nach h umgestellt werden. Dann wird h in die Zielfunktion eingesetzt, die dann nur noch eine Variable (nämlich r) enthält. Diese wird dann mit Hilfe der Differentialrechnung zweimal abgeleitet, die erste Ableitung wird Null gesetzt. Dies ergibt r1 = 2,3351. Einsetzen in die zweite Ableitung ergibt einen positiven Wert (6 pi), womit die Ausgangsfunktion bei r1 ein Minimum vorweist. Setzt man r1 in die Funktion F® ein, so erhält man die minimale Oberfläche des Zylinders mit F(r1) = 58,1619 cm^3.

Das gleiche Vorgehen ergibt sich bei dem säulenförmigen Reagenzglas mit quadratischer Grundfläche. Hier lautet die Zielfunktion:
F(a,h) = a^2 + 4a.h --> Min
Die Nebenbedingung lautet:
V(a,h) = a^2.h = 40
Die letzte Gleichung wird wiederum nach h umgestellt und in die Zielfunktion eingesetzt. Dort ist dann nur noch die Variable a enthalten. Mit Hilfe der Differentialrechung ergibt sich a1 = 4,3089. Mit diesem Wert ergibt sich ein Materialverbrauch von 55,6988 cm^3. Somit ist die nach meinen Berechnungen das Reagenzglas mit dem niedrigsten Materialverbrauch.
Sollte auch noch das kegelförmige Reagenzglas als Lösungsmöglichkeit infrage kommen, dann müsste auch dafür jeweils eine Zielfunktion und eine Nebenbedingung aufgestellt werden und das ganze durchgerechnet werden. Dafür bleibt mir aber leider nicht mehr die Zeit.
Ich hoffe, dass keine Rechenfehler enthalten sind! Aber vom Prinzip her müsste es so zu lösen sein.

Viele Grüße
funnyjonny

#9

Wer ist shaunel? Hat der keinen Namen wie ich?

Und warum schreibt der so eine alberne Einleitung?
Kann der nur daddeln, statt sich einmal die simpelsten Dinge vorzustellen?

Hier sind die beiden Gleichungen, eine für das Volumen, das gegeben ist,
und eine für die Oberfläche, die zu minimieren ist:

V = pi*r^2*h + 2/3*pi*r^3,
O = 2*pi*r*h + 2*pi*r^2.

Den Rest sollst Du jetzt selber machen.
Aber warum immer erst am Abend vor der Arbeit?

Michael.

#10

Extremwertaufgabe:
Reagenzglasradius=r; Höhe des geraden Teils=h.
Hauptbedingung: Oberfläche=A=Halbkugelfläche+Zylindermantelfläche
=2*pi*r^2+2*pi*r*h
Nebenbedingung:
Volumen=V=40=Halbkugelvolumen+Zylindervolumen
=2/3 * pi * r^3 + 2*pi*r^2; .
Nun z.B. die NB nach h auflösen; diesen Term für h in die HB einsetzen. Ergibt A®=…; A’®=0 liefert das r für extremes A, ich glaube r=3te Wurzel aus 60/pi. Mit A’’(…)prüfen, ob A tatsächlich minimal wird (ES wird!)
Das Ergebnis ist - soweit ich mich erinnere - ein ziemlich gedrungenes Reagenzglas, etwa mit h=2*r.

#11

Sorry, da kann ich dir leider nicht helfen

#12

Hallo Shaunel

Tut mir leid, aber die Aufgabenstellung ist so für mich zu wenig präzis - ich weiss auch nicht genau. Was z.B. ist unter „einfachen Körpern“ zu verstehen? Zylinder? Quader mit quadratischer Grundfläche? andere Grundflächen?
Ansonsten sieht’s nach Extremalwertaufgabe aus: bei gegebenem Volumen ist die Oberfläche zu minimieren.
Mehr kann ich leider nicht sagen.

Modelliere ein Reagenzglas mithilfe einfacher körper. Es soll
ein Fassungsvermögen von 40 cm^3 aufweisen. Bestimme, bei
welchen Abmessungen sich ein minimaler Materialverbrauch
ergibt.

#13

Hallo,
dein Reagenzglas wir wohl auf einen Zylinder hinauslaufen.
Runde Körper sind oberflächenkleiner als eckige. Eine abgeschnittene Kugel (Goldfischglas) wäre noch sparsamer, aber das ist wohl nicht gemeint.
Jetzt geht es also darum Radius und Höhe eines Zylinders zu finden, dessen Volumen 40cm^3, und dessen Oberflächen minimal ist.
Setzte 40cm^3 in die Volumenformel des Zylinders ein und rechne h in Abhängigkeit von r aus.
h: Höhe des Zyl. und r: sein Radius
Setzte dann h in die Oberflächenformel des Zylinders ein (Achtung ein Reagenzglas ist oben offen!)
Dann hast du die Oberfläche nur noch in Abhängigkeit von r.
Durch Ableiten nach r kannst du Min/Max herausfinden.
Viel Erfolg.

#14

Also ich würde da ganz prgramatisch dran gehen:

  1. wie sieht ein Reagenzglas prinzipiell aus? Oben ein Zylinder, unten eine Halbkugel mit dem gleichen Durchmesser. Variablen: Radius beider Körper (ist gleich) und Höhe oder Länge des Zylinders.
  2. von diesen Körpern lässt sich einfach die die Oberfläche bestimmen, was ja vermutlich dem Materialverbrauch entspricht (also hinsichtlich der Oberfläche, von der Dicke (und somit dem Volumen) wissen wir ja nichts.
  3. dann haben wir noch das Volumen der beiden Körper, die zusammen 40 cm^3 betragen soll - das heisst, wir haben eine erste Abhängigkeit.
  4. Diese Abhängigkeit benutzt man dann, um mit ihr diejenigen Werte zu erhalten, so dass die Oberfläche minimal ist.

Bewertung hängt dann stark vom Ergebnis ab, aber ich denke, das müsstest Du doch jetzt hinbekommen?