Kegelschnitte - Ellipse(Mittelpunkt etc.)

Wissenschaft Mathematik
#1

Liebe/-r Experte/-in,

  1. Hat die Ellipsengleichung keinen Linearanteil: 9x²+16y²=144, dann ist der Mittelpunkt im ursprung richtig?

Ellipsengleichung in Ursprungslage: x²/a² + y²/b² = 1

  1. Aber wenn die Ellipsengleichung einen Linearanteil hat: x²+4y²-6x-16y

Hier lautet die Gleichung aber: (x-x0)²/a² + (y-y0)²/b² = 1

Also wie berechnet man das a und b bei nummer 1?
Erstmal auf die Form 9x²/144 +16y²/144 = 1 - und was jetzt? Ich stehe hier völlig am Schlauch :frowning:.

Wie berechnet man aber jetzt a, b und den Mittelpunkt bei Nummer 2?

Also hier habe ich wirklich Null Ahnung wie das gehen könnte? Bitte zeig mir wie ich das Lösen kann.

Danke!

mfg

#2

Lieber Fragesteller,
das geht genau so wie bei quadratischen Gleichungen:
nehmen wir den Term x²-6x, so sehen wir, dass der genauso anfängt wie der Binom (x-3)² = x² - 6x + 3².
Also kann man schreiben:
x²-6x = (x-3)² - 9
Entsprechend gilt (nach Ausklammern von 4)
4y²-16y = 4(y²-4y) = 4((y-2)² - 2²) = 4(y-2)² - 16
Jetzt heißt die linke Seite der Ellipsengleichung:
(x-3)² - 9 + 4(y-2)² - 16
Dann bringt man die 9 und die 16 auf die rechte Seite und teilt noch durch das, was jetzt rechts steht (wenn es nicht Null oder negativ ist). Fertig die Laube.
Mittelpunkt = (3/2)
Hoffentlich ist alles klar!
Liebe Grüße, J. Huber

#3

Hallo MrAnonym,

  1. Hat die Ellipsengleichung keinen Linearanteil:
    9x²+16y²=144, dann ist der Mittelpunkt im ursprung richtig?

Ellipsengleichung in Ursprungslage: x²/a² + y²/b² = 1

Also wie berechnet man das a und b bei nummer 1?
Erstmal auf die Form 9x²/144 +16y²/144 = 1 - und was jetzt?
Ich stehe hier völlig am Schlauch :frowning:.

Du hast x²/a² + y²/b² = 1
sowie 9x²/144 +16y²/144 = 1
und damit x²/a² + y²/b² = 9x²/144 +16y²/144 für alle x und y
Also gilt x²/a² = 9x²/144 und y²/b² = 16y²/144
das sind zwei Gleichungen mit jeweils einer Unbekannten: das x bzw. y kürzt sich raus beziehungsweise Du kannst einfach 1 einsetzen, da dies für alle x, y gilt.

  1. Aber wenn die Ellipsengleichung einen Linearanteil hat:
    x²+4y²-6x-16y

Hier lautet die Gleichung aber: (x-x0)²/a² + (y-y0)²/b² = 1

Wie berechnet man aber jetzt a, b und den Mittelpunkt bei
Nummer 2?

Forme die zweite Gleichung um:
1 = (x-x0)²/a² + (y-y0)²/b²
= x²/a² - 2x*x0/a² + x0²/a² + y²/b² - 2y*y0/b² + y0²/b²

Wie oben erhälst Du nun mit x² + 4 y² - 6x - 16y = 1 die folgenden Terme:
x² = x²/a²
-6x = - 2x*x0/a²
4 y² = y²/b²
-16 y = - 2y*y0/b²
0 = y0²/b² + x0²/a²

Viele Grüße
Diether