Kegelschnitte - Ellipse

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo!

  1. Hat die Ellipsengleichung keinen Linearanteil: 9x²+16y²=144, dann ist der Mittelpunkt im ursprung richtig?

Ellipsengleichung in Ursprungslage: x²/a² + y²/b² = 1

  1. Aber wenn die Ellipsengleichung einen Linearanteil hat: x²+4y²-6x-16y

Hier lautet die Gleichung aber: (x-x0)²/a² + (y-y0)²/b² = 1

Also wie berechnet man das a und b bei nummer 1?
Erstmal auf die Form 9x²/144 +16y²/144 = 1 - und was jetzt? Ich stehe hier völlig am Schlauch :frowning:.

Wie berechnet man aber jetzt a, b und den Mittelpunkt bei Nummer 2?

Also hier habe ich wirklich Null Ahnung wie das gehen könnte? Bitte zeigt mir wie ich das Lösen kann.

Danke!

mfg

#2

Hallo auch.

  1. Hat die Ellipsengleichung keinen Linearanteil:
    9x²+16y²=144, dann ist der Mittelpunkt im ursprung richtig?

Richtig.

Ellipsengleichung in Ursprungslage: x²/a² + y²/b² = 1

Richtig.

  1. Aber wenn die Ellipsengleichung einen Linearanteil hat:
    x²+4y²-6x-16y

Wo ist denn hier die Gleichung?

Hier lautet die Gleichung aber: (x-x0)²/a² + (y-y0)²/b² = 1

Das ist die Gleichung für eine verschobene Ellipse mit Mittelpunkt (x0|y0). Es gibt auch noch die Möglichkeit, die Ellipse zusätzlich zu drehen.

Also wie berechnet man das a und b bei nummer 1?
Erstmal auf die Form 9x²/144 +16y²/144 = 1 - und was jetzt?
Ich stehe hier völlig am Schlauch :frowning:.

Denke immer an die Regeln der Bruchrechnung:

\frac{9x^2}{144} = \frac{x^2}{\frac{144}{9}}
= \frac{x^2}{\left(\frac{12}{3}\right)^2}
= \frac{x^2}{4^2}

Liebe Grüße,

The Nameless

#3

Ah ok danke und wie macht man das nun bei Nummer 2?

Also die Gleichung ist:

x^2-6x+4(y^2+4y)=39 Also ich hab sie jetzt schon bissl umgeformt für besser übersichtlichkeit.

Nun bringen wir sie auf die Form von der verschobenen Ellipsen-gleichung:

Auf eine binomsiche Formel gebracht und die Werte abgezogen, die ich für die binomsiche Formel gebraucht habe:
xxxxxxxxxx

Jetzt die Zahlenwerte nach rechts addiert und dann auf die verschobene Ellipsenformel gebracht:
\frac{(x-3)^2}{52}+\frac{(y-2)^2}{52}=39

Und wie berechnet man sich a,b hier?

#4

Ich konnte nicht mehr wie 3 latex-Formel schreibe darum:

Bei xxxxxxxxxxxxxxx gehört:
(x-3)^2-9+4(y+2)^2-4=39 rein

#5

Ah ok danke und wie macht man das nun bei Nummer 2?

Also die Gleichung ist:

x^2-6x+4(y^2+4y)=39 Also ich hab sie jetzt schon bissl
umgeformt für besser übersichtlichkeit.

Nun bringen wir sie auf die Form von der verschobenen
Ellipsen-gleichung:

Auf eine binomsiche Formel gebracht und die Werte abgezogen,
die ich für die binomsiche Formel gebraucht habe:
xxxxxxxxxx

Jetzt die Zahlenwerte nach rechts addiert und dann auf die
verschobene Ellipsenformel gebracht:
\frac{(x-3)^2}{52}+\frac{(y-2)^2}{52}=39

Beim Umformen ist ein Fehler aufgetreten

Im y- Term fehlt der Faktor 4 vor der Klammer. Irgendwas mit dem Vorzeichen in der „y- Klammer“ scheint ebenfalls nicht zu stimmen. Mit Berücksichtigung der quadratischen Ergänzung ergibt sich rechts des Gleichungszeichens die Zahl 64. Division durch 64 liefert die „Norm“ der Ellipsengleichung.

Gruß

P.

#6

Ehm das verstehe ich aber jetzt nicht.

x^2-6x+9+4(y^2-4y+4)=52

dann:
xxxxxxxxxxxxxxx

und dann:
\frac{(x-3)^2}{52}+\frac{4(y-2)^2}{52}=1

So stimmts aber, oder?

Und wie berechne ich daraus jetzt a und b?

#7

xxxxxxxxxxxxxxx = (x-3)^2+4(y-2)^2=52

#8

Guten Tag,

Ehm das verstehe ich aber jetzt nicht.

x^2-6x+9+4(y^2-4y+4)=52

So stimmts aber, oder?

Nein, denn auf der linken Seite hast du 9 + 4*4 = 25 und auf der rechten Seite hast du nur 9 + 4 = 13 addiert.

Gruß
Pontius