Kerr-Schwarzschild

[Maximilian_Esser]

Hi,

wie im Titel beschrieben, habe ich eine Frage zu obigen Metriken.
Wenn ich mich richtig erinnere, ist es so daß beide im asymptotischen Fall großer Entfernung in die euklidische Metrik übergehen, also als Grenzfall Newton beinhalten.
Meine Frage ist nun, ob in beiden Fällen der Grenzfall die gleiche Masse als Zentralmasse enthält oder ob im Falle der Kerrmetrik sozusagen eine durch Drehbeweegung geänderte Zentralmasse berücksichtigt wird.
Oder enthält der Grenzfall gar keine Masse mehr und besteht nur noch aus dem euklidischen Raum, das wäre nämlich schlecht

Vielen Dank,

Max

[PHvL]

Hallo,

Wenn ich mich richtig erinnere, ist es so daß beide im
asymptotischen Fall großer Entfernung in die euklidische
Metrik übergehen, also als Grenzfall Newton beinhalten.
Meine Frage ist nun, ob in beiden Fällen der Grenzfall die
gleiche Masse als Zentralmasse enthält oder ob im Falle der
Kerrmetrik sozusagen eine durch Drehbeweegung geänderte
Zentralmasse berücksichtigt wird.

Dazu musst du zunächst die Frage beantworten, was du unter Masse verstehst.

In beiden Metriken steht jeweils ein Parameter M, der mit der Gesamtmasse eines Objekts aus der newtonscher Gravitation identifiziert werden kann. Dennoch handelt es sich bei beiden Lösungen um reine Vakuum-Lösungen, in denen kein bißchen Materie ist.

Deine Frage zielt wohl eher auf den Fall ab, dass die Schwarzschild-/Kerr-Lösung als Außenlösung an einen Stern (z.B. aus idealer Flüssigkeit) angeschlossen ist und somit eine materielle Quelle für das Garvitationsfeld existiert.

Um zu bestimmen, ob im rotierenden Fall für den gleichen Parameter M in der Außenlösung weniger Materie in dem Stern im Inneren erforderlich ist, als im nichtrotierenden Fall, müsste man - wie man es im nichtrotierenden Fall ja macht - die Dichteverteilung einer Innenlösung integrieren und diesen Wert, der bei Schwarzschild gerade M liefert, mit M vergleichen. Leider steht eine solche Innenlösung für die Kerr-Metrik nicht zur Verfügung.

–
PHvL

[Maximilian_Esser]

Hi,

Dazu musst du zunächst die Frage beantworten, was du unter
Masse verstehst.

Die RUhemasse.

In beiden Metriken steht jeweils ein Parameter M, der mit der
Gesamtmasse eines Objekts aus der newtonscher Gravitation
identifiziert werden kann. Dennoch handelt es sich bei beiden
Lösungen um reine Vakuum-Lösungen, in denen kein bißchen
Materie ist.

o.K. Aber trotzdem zieht man ja z.B. die Schwarzschlidlösung heran, um die Periheldrehung zu bestimmen. Ohne Kenntnis von M kann man die ja nicht rechnen.

Deine Frage zielt wohl eher auf den Fall ab, dass die
Schwarzschild-/Kerr-Lösung als Außenlösung an einen Stern
(z.B. aus idealer Flüssigkeit) angeschlossen ist und somit
eine materielle Quelle für das Garvitationsfeld existiert.

Gut geraten. Vor ein paar wochen tauchte im Physikbrett die Frage auf, inwieweit relativistische Masse in der ART berücksichtigt würde. Ein User war der Ansicht, ARTler würden die Frage gar nicht verstehen
Ich hatte dann die Idee, daß sich der Unterschied möglicherweise im Unterschied der beiden Metriken manifestieren würde.

Um zu bestimmen, ob im rotierenden Fall für den gleichen
Parameter M in der Außenlösung weniger Materie in dem Stern im
Inneren erforderlich ist, als im nichtrotierenden Fall, müsste
man - wie man es im nichtrotierenden Fall ja macht - die
Dichteverteilung einer Innenlösung integrieren und diesen
Wert, der bei Schwarzschild gerade M liefert, mit M
vergleichen. Leider steht eine solche Innenlösung für die
Kerr-Metrik nicht zur Verfügung.

Hm. Das ist natürlich schlecht. Dann stellt sich mir nur noch die Frage, warum man für einen rotationssymmetrischen Stern überhaupt die Kerrlösung nimmt. Wobei ich die Antwort womöglich schon nicht mehr wirklich verstehe. Ist schon lange her bei mir.

Liebe Grüße,

Max

[PHvL]

Hallo,

Dazu musst du zunächst die Frage beantworten, was du unter
Masse verstehst.

Die RUhemasse.

Von was ? Zwei verschiedene Beobachter sind sich in der AR unter Umständen nicht über die Anzahl der vorhandenen Teilchen einig (vgl. Hawking-Strahlung und Unruh-Effekt).

Darüberhinaus wirken natürlich auch Objekte ohne Ruhemasse oder der Druck gravitativ und tragen selbstverständlich zur gemessenen newtonschen Masse bei.

In beiden Metriken steht jeweils ein Parameter M, der mit der
Gesamtmasse eines Objekts aus der newtonscher Gravitation
identifiziert werden kann. Dennoch handelt es sich bei beiden
Lösungen um reine Vakuum-Lösungen, in denen kein bißchen
Materie ist.

o.K. Aber trotzdem zieht man ja z.B. die Schwarzschlidlösung
heran, um die Periheldrehung zu bestimmen. Ohne Kenntnis von M
kann man die ja nicht rechnen.

Tatsächlich muss man dazu aber garnicht wissen, wieviel Materie, mit welcher Gesamtruhemasse in dem Stern steckt - es genügt die Gravitationskraft zu vermessen und über das newtonsche Gravitationsgesetz M auszurechnen.

Leider steht eine solche Innenlösung für die
Kerr-Metrik nicht zur Verfügung.

Hm. Das ist natürlich schlecht. Dann stellt sich mir nur noch
die Frage, warum man für einen rotationssymmetrischen Stern
überhaupt die Kerrlösung nimmt. Wobei ich die Antwort
womöglich schon nicht mehr wirklich verstehe.

Die Kerr-Lösung ist die einzige bekannte Lösung für ein rotierendes ungeladenes Schwarzes Loch. Es besteht die Vermutung, dass sie dieselbe Rolle spielt, wie die Schwarzschildlösung im nichtrotierenden Fall, nämlich der /einzige/ Endzustand eines kollabierenden Systems zu sein.

–
PHvL

[Maximilian_Esser]

Hi,

Von was ? Zwei verschiedene Beobachter sind sich in der AR
unter Umständen nicht über die Anzahl der vorhandenen Teilchen
einig (vgl. Hawking-Strahlung und Unruh-Effekt).

igitt. Das wird dann aber fies.
Ich meine natürlich die Ruhemasse eine Sterns vor Rotation. Dieser wird dann in Rotation versetzt und die dazugehörige Kerr-Metrik betrachtet.

Darüberhinaus wirken natürlich auch Objekte ohne Ruhemasse
oder der Druck gravitativ und tragen selbstverständlich zur
gemessenen newtonschen Masse bei.

Das ist klar. Im E.-I. Tensor stecken ja schließlich nicht nur Massen.

Tatsächlich muss man dazu aber garnicht wissen, wieviel
Materie, mit welcher Gesamtruhemasse in dem Stern steckt - es
genügt die Gravitationskraft zu vermessen und über das
newtonsche Gravitationsgesetz M auszurechnen.

Ja, aber angenommen man hat zwei identische Sterne. Beide rotieren nicht. Nun versetzt man den einen in Drehung. Wie ändert sich dann die asymptotische Lösung?

Liebe Grüße,

Max

[PHvL]

Hallo,

Ich meine natürlich die Ruhemasse eine Sterns vor Rotation.
Dieser wird dann in Rotation versetzt und die dazugehörige
Kerr-Metrik betrachtet.

dabei gibt es nur ein Problem: wie versetzt man einen sphärisch symmetrischen Stern in einer sphärisch symmetrischen Raumzeit in Rotation?

Dies ist ein grundsätzliche Schwierigkeit der einsteinschen Gravitationstheorie: die Feldgleichungen, die Geometrie und Materie koppeln, sind nichtlinear. Darum kann man nicht in einen vorher leeren Raum Materie mit bestimmten Eigenschaften setzen und dann das Gravitationsfeld ausrechnen.

Vielmehr muss man die Feldgleichungen für Geometrie und Materie simultan lösen. Unter geeigneten Symmetrieannahmen erhält man dann eine Lösung, die die geforderten Eigenschaften hat. Die Lösung ist aber keinesfalls trivial und speziell für die Innenlösung der Kerrmetrik noch nicht gelungen. Ich bin mir jetzt nicht sicher, aber möglicherweise gibt es sogar einen Satz (oder zumindest eine Vermutung), dass keine Innenlösung existiert.

–
PHvL

[Maximilian_Esser]

Hi,

dabei gibt es nur ein Problem: wie versetzt man einen
sphärisch symmetrischen Stern in einer sphärisch symmetrischen
Raumzeit in Rotation?

Ähh ja. Durch Einbau eines entsprechenden Drehmoment enthaltenden Gliedes in den E.-I.-Tensor dachte ich.

Dies ist ein grundsätzliche Schwierigkeit der einsteinschen
Gravitationstheorie: die Feldgleichungen, die Geometrie und
Materie koppeln, sind nichtlinear. Darum kann man nicht in
einen vorher leeren Raum Materie mit bestimmten Eigenschaften
setzen und dann das Gravitationsfeld ausrechnen.

Ja, das ist schon klar. Habe ich blöd formuliert. Kann man aber nicht die Lösungen zweier Feldgleichungen betrachten. Die eine enthält einen E.-I.-Tensor mit einem runden Stern, die andere denselben Stern mit einer Drehung? Geht das? Oder ist dann schon im E.-I.Tensor die Ruhemasse garnicht mehr explizit bekannt, weil die Kerrlösung eben nur eine Außenlösung ist?

Vielmehr muss man die Feldgleichungen für Geometrie und
Materie simultan lösen. Unter geeigneten Symmetrieannahmen
erhält man dann eine Lösung, die die geforderten Eigenschaften
hat. Die Lösung ist aber keinesfalls trivial und speziell für
die Innenlösung der Kerrmetrik noch nicht gelungen. Ich bin
mir jetzt nicht sicher, aber möglicherweise gibt es sogar
einen Satz (oder zumindest eine Vermutung), dass keine
Innenlösung existiert.

Daß man die Feldgleichungen simultan lösen muss und so eklige Dinge passieren wie Ende des Superpositionsprinzips weiss ich schon.
Warum aber wichtig ist, die Innenlösung zu kennen, ist mir ehrlich gesagt unklar.
Liegt das daran, daß man dann eben die Innenlösung für den E.-I.-Tensor mit Rotation rechnen müsste?

Liebe Grüße,

Max

[Maximilian_Esser]

Hi

Ähh ja. Durch Einbau eines entsprechenden Drehmoment
enthaltenden Gliedes in den E.-I.-Tensor dachte ich.

hmm. Ich habe nochmal nachgedacht. Blöderweise muss ja auch der E.I.-Tensor in Koordinaten der metrik ausgedrückt werden.
Das dürfte dann allerdings bei einem Tensor der Drehimpuls enthält hochgradig nichttrivial bis unmöglich werden, da hast du allerdings recht.
Bleibt halt die Aussenlösung, aber in der steckt die Ruhemase ja garnicht mehr drin.

Liebe Grüße,

Max

[PHvL]

Hallo,

Bleibt halt die Aussenlösung, aber in der steckt die Ruhemase
ja garnicht mehr drin.

ich habe nochmal ein bißchen gesucht und tatsächlich Paper (z.B. Phys. Rev. 167, 1180–1185 (1968)) gefunden, die Innenlösungen finden. Allerdings keine ideale Flüssigkeit und in den uns interessierenden Objekten (T_{00}) nicht explizit, aber es ergibt sich, wie zu erwarten, eine Korrektur der Energiedichte mit dem Drehimpuls:
\rho = \epsilon + O(b^2)
Dabei ist \epsilon die Dichte aus der Schwarzschildlösung und b der Drehimpulsparameter aus der Kerr-Metrik.

–
PHvL

[Maximilian_Esser]

Hallo,

Bleibt halt die Aussenlösung, aber in der steckt die Ruhemase
ja garnicht mehr drin.

ich habe nochmal ein bißchen gesucht und tatsächlich Paper
(z.B. Phys. Rev. 167, 1180–1185 (1968)) gefunden, die
Innenlösungen finden. Allerdings keine ideale Flüssigkeit und
in den uns interessierenden Objekten (T_{00}) nicht explizit,
aber es ergibt sich, wie zu erwarten, eine Korrektur der
Energiedichte mit dem Drehimpuls:
\rho = \epsilon + O(b^2)
Dabei ist \epsilon die Dichte aus der Schwarzschildlösung und
b der Drehimpulsparameter aus der Kerr-Metrik.

Hallo Philipp,

super. Vielen Dank. Also steckt dann letzlich im M der Aussenlösung zumindest implizit auch eine sozusagen Drehimpulskorrigierte Energiedichte der Innenlösung. Was ja eigenlich auch wie Du sagst zu erwarten war.

Liebe Grüße,

Max