Hallo wwwexpert,
ich erkläre es Dir an einem anderen Beispiel.
Wenn Du erstens weißt, dass sich
\sqrt{x}
ableitet zu
\frac{1}{2\sqrt{x}}
(das weißt Du, weil es zu den paar Regeln gehört, die Du auswendig gelernt hast) und zweitens dass sich
\frac{5x-2}{3x+8}
ableitet zu
\frac{46}{(3x+8)^2}
(rechne es selbst mit der Quotientenregel nach), dann weißt Du automatisch auch, was die Ableitung der daraus „zusammengesetzten“ Funktion
\sqrt{\frac{5x-2}{3x+8}}
ist, nämlich
\frac{1}{2 \sqrt{\frac{5x-2}{3x+8}}} \cdot \frac{46}{(3x+8)^2}
Entsprechend ist etwas allgemeiner die Ableitung von
\sqrt{\textnormal{irgendein Gemurks wo x drinsteht}}
nach der Kettenregel
\frac{1}{2 \sqrt{\textnormal{Gemurks}}}
\cdot
\textnormal{die Ableitung des Gemurkses}
Oder wenn ich die äußere Funktion von √x etwa gegen 4x7 austausche: Die Ableitung von 4x7 ist 28x6. Also ist die Ableitung von
4:\textnormal{(irgendein Krempel wo x drinsteht)}^7
dann nach der Kettenregel
28:\textnormal{(der Krempel)}^6
\cdot
\textnormal{die Ableitung des Krempels}
Erkennst Du die dahinterstehende Bildungsvorschrift, das Konstruktionsschema? Ja? Gut, dann hast Du auch verstanden, was die Kettenregel
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
die Ableitung von f(g(x)) ist f’(g(x)) · g’(x)
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
von Dir will: Sie drückt einfach genau die erwähnte Bildungsvorschrift in Formelnotation aus.
Hier ne Checkliste um die Kettenregel zu meistern:
1 Erstmal musst Du erkennen können, wann überhaupt der Fall zweier ineinandergeschachtelter Funktionen, also die Bauart „Funktion von Funktion“ vorliegt.
2 Als nächstes musst Du die äußere und die innere Funktion identifizieren können. Im Eingangsbeispiel ist die äußere Funktion √x und die innere (5x – 2)/(3x + 8): Siehst Du das?
3 Du musst fähig sein, sowohl von der äußeren als auch von der inneren Funktion die Ableitung auszurechnen mit den jeweils zuständigen, Dir bekannten (weil auswendig gelernten) Regeln für die Ableitung von Potenzen, Wurzeln, Summen, Produkten, Quotienten, e hoch x, ln-Funktion, sin, cos, tan usw.
4 Mit den beiden Ableitungen aus Punkt 3 hast Du schon alles zusammen, um das Ergebnis gemäß der Kettenregel in Rohform hinschreiben zu können.
5 Nun kannst Du diesen Term gegebenenfalls noch vereinfachen durch Ausmultiplizieren, Zusammenfassen, Kürzen etc. Das hat dann mit der Kettenregel als solche aber nix mehr zu tun.
Alle Klarheiten beseitigt? Dann mach Dich ans Werk und versuche Dich selbst an Deinen Aufgaben. Es sind übrigens stinknormale Aufgaben – an keiner ist irgendwas Besonderes dran (was sollte es denn sein?) und deshalb brauchst Du auch keine „Sonderregeln“.
Wenns noch wo hängt, sag hier Bescheid. Viel Spaß!
Gruß
Martin
