liebe Wissende,
ich verstehe nicht was Ordnung und Charakteristik eines Körpers sind, und ich werde selbst mit Hilfe von Google nicht schlauer…
Soviel ich verstanden habe gilt folgendes:
Sei 1 das neutrale Element bezüglich der Multiplikation und 0 dasjenige der Addition und a ein beliebiges Element des Körpers, dann ist:
n die Charakteristik wenn gilt n*1=0
und k die Ordnung wenn gilt a^k = 1
Nun habe ich aber die Aufgabe die Charakteristik und Odnung des Körpers mit der Menge {0,1,a,b} zu bestimmen. Meiner Meinung nach müsste man da doch eine multiplikations / additions-Tafel haben, und diese sind ja (soviel ich weiss) nicht eindeutig?
Ich hoffe jemand kann mich da aufklären!
Gruss
niemand
Hallo niemand.
Meiner Meinung nach müsste man da doch eine multiplikations /
additions-Tafel haben, und diese sind ja (soviel ich weiss)
nicht eindeutig?
In diesem Fall schon. Klar ist zunächst folgender Teil der Tafel:
\* | 0 1 a b
-----------------
0 | 0 0 0 0
1 | 0 1 a b
a | 0 a ? ?
b | 0 b ? ?
Das folgt direkt aus der Definition des Nullelementes und des Einselementes.
Die Felder mit den Fragezeichen bleiben zuerst offen. Nun ist aber klar, dass in jeder Zeile und jeder Spalte der Tabelle alle vier Elemente genau einmal stehen müssen, da die Menge ein Körper ist. Deswegen ergibt sich als eindeutige Tabelle
\* | 0 1 a b
-----------------
0 | 0 0 0 0
1 | 0 1 a b
a | 0 a b 1
b | 0 b 1 a
Liebe Grüße,
The Nameless
hallo namensvetter=P
Die multiplikationstafel habe ich inzwischen auch rausbekommen, die ist eindeutig in diesem Fall, aber bei der addition habe ich zwei tafeln erhalten, die eigentlich widerspruchsfrei sein sollten:
(Lasse erste zeile und erste spalte mit je 0 1 a b weg)
0 1 a b
1 0 b a
a b 0 1
b a 1 0
=\> char = 2, da 1+1=2\*1=0
und
0 1 a b
1 a b 0
a b 0 1
b 0 1 a
=\> char = 4, da 1+1=a, 1+a=b, 1+b=0,=\>1+1+1+1=4\*1=0
ich habe weder in der ersten noch ind er zweiten tabelle einen widerspruch gefunden…
gruss niemand
*wie schuppen von den augen fall*
bei einem körper muss ja das distributivgesetz gelten, das gilt aber bei der zweiten tabelle nicht, da gegenbeispiel:
0 = a* 0 = a * (b + 1) = a * b + a * 1 = b + a = 1
gruss niemand
Hallo!
aber bei der
addition habe ich zwei tafeln erhalten, die eigentlich
widerspruchsfrei sein sollten:
(Lasse erste zeile und erste spalte mit je 0 1 a b weg)0 1 a b
1 0 b a
a b 0 1
b a 1 0
=> char = 2, da 1+1=2*1=0
und0 1 a b
1 a b 0
a b 0 1
b 0 1 a
=> char = 4, da 1+1=a, 1+a=b, 1+b=0,=>1+1+1+1=4*1=0
ich habe weder in der ersten noch ind er zweiten tabelle einen
widerspruch gefunden…
Stimmt, in keiner Tabelle ist ein Widerspruch ersichtlich. Aber nur die erste erhält das Distributivgesetz.
Denn nach der ersten Tabelle ist
a*(b+a) = a*1 = a
a*b + a*a = 1+b = a
Aber nach der zweiten Tabelle ist
a(b+a) = a*1 = a
a*b + a*a = 1+b = 0.
Mein Algebra-Buch (Karpfinger&Meyberg) leitet das Kapitel über endliche Körper ein mit dem Satz „Die endlichen Körper sind vollständig bestimmt: Zu jeder Primzahlpotenz p^n gibt es bis auf Isomorphie genau einen Körper mit p^n Elementen, weitere endliche Körper gibt es nicht.“
Also ist klar, dass das eine Gegenbeispiel ausreicht, um die eine Tabelle zu verwerfen und die andere Tabelle zu bestätigen, ohne dass wir alle anderen distributiven Rechnungen auch überprüfen müssten.
Liebe Grüße,
Der Namensvetter 