moin leute, hab in der schule eine aufgabe bekommen.
soll im Zahlenraum von 1-50 herausfinden, wieviele 5er Zahlenkombinationen es gibt, die eine Gesamtsumme von 120 haben.
Gibt es für diese Lösung eine Formel?
Gruß
Der mit den Fragen
Hallo,
also ganz allgemein löst Du:
a + b + c + d + e = 120
mit a,b,c,d,e aus {1,…,50}. Dann ist hier die Lösungsidee: Angenommen Du hast bereits eine Lösung a,b,c,d,e für die obige Gleichung gilt, dann löst auch a + b + c + (d + 1) + (e - 1) und natürlich auch a + b + c + (d + 2) + (e - 2) usw., das hoch und runterzählen geht nur bis min(50 - d, e).
So, jetzt schließen sich gleich die ganzen Fragen an, sollen die Lösungen Tupel oder Mengen sein: Sind also 20 20 20 20 40 und 20 20 20 40 20 zwei verschiedene Lösungen oder ein und dasselbe? Im zweiten Fall muß man dann mit dem Zählindex ziemlich aufpassen, aber die Idee bleibt die gleiche.
Fünf verschiedene Zahlen, oder dürfen sie auch gleich sein?
wo kommt die Kombination a + b + (c + 1) + (d + 1) + (e - 2) in der Aufzählung vor?
Wenn die Lösungen Mengen sind, ist 20 20 20 20 40 keine Lösung.
Die Kombinationen mit a+i, b+i, c+i, d+i und e+i sind natürlich hinzuzuziehen, sie kommen in dem usw. vor. Ich habe nur die Grundidee skizziert, und implizit die Zähler a+0, b+0, c+0 verkürzt zu a, b und c.
Und bezüglich der Mengen meine ich natürlich Multimengen im Unterschied zu Tupeln, das ändert die Idee jedoch nicht. Alternativ kann man meine Frage so formulieren: Sollen die Summanden bis auf Reihenfolge bestimmt werden?
Eine Kombination ist in der Kombinatorik eine Auswahl von Objekten, bei der die Reihenfolge unberücksichtigt bleibt. Können Objekte dabei mehrfach ausgewählt werden, so spricht man von einer Kombination mit Wiederholung, darf jedes Objekt nur einmal auftreten von einer Kombination ohne Wiederholung.
(Formulierung: Wikipedia)
Super, danke. Also Tupel, damit vereinfacht sich die Idee oben ganz schnell.
Hallo!
Ich möchte mich nicht damit beschäftigen, eine Formel zu finden. Aber wenn man sie hat, wäre es natürlich gut, sie zu überprüfen.
Daher habe ich meinen Computer mit der Aufgabe gefüttert, und dabei folgendes erhalten:
Es 27758 Möglichkeiten, wenn jede Zahl nur einmal vorkommen darf.
Hinzu kommen 7930 Möglichkeiten, in denen Zahlen mehrfach vorkommen.
Macht zusammen 35688 Möglichkeiten.
(Und ja natürlich, jede Kombination ist einzigartig!)
Das lässt bei mir die Frage aufkommen, ob das wirklich die Aufgabe ist, oder ob es nicht doch eher um das Produkt von 5 Zahlen geht. Da gibt es nämlich nur 19 Möglichkeiten, von denen nur eine keine Mehrfachvorkommen hat:
1 * 1 * 1 * 3 * 40 = 120 (Mehrfach)
1 * 1 * 1 * 4 * 30 = 120 (Mehrfach)
1 * 1 * 1 * 5 * 24 = 120 (Mehrfach)
1 * 1 * 1 * 6 * 20 = 120 (Mehrfach)
1 * 1 * 1 * 8 * 15 = 120 (Mehrfach)
1 * 1 * 1 * 10 * 12 = 120 (Mehrfach)
1 * 1 * 2 * 2 * 30 = 120 (Mehrfach)
1 * 1 * 2 * 3 * 20 = 120 (Mehrfach)
1 * 1 * 2 * 4 * 15 = 120 (Mehrfach)
1 * 1 * 2 * 5 * 12 = 120 (Mehrfach)
1 * 1 * 2 * 6 * 10 = 120 (Mehrfach)
1 * 1 * 3 * 4 * 10 = 120 (Mehrfach)
1 * 1 * 3 * 5 * 8 = 120 (Mehrfach)
1 * 1 * 4 * 5 * 6 = 120 (Mehrfach)
1 * 2 * 2 * 2 * 15 = 120 (Mehrfach)
1 * 2 * 2 * 3 * 10 = 120 (Mehrfach)
1 * 2 * 2 * 5 * 6 = 120 (Mehrfach)
1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120 (Einfach)
2 * 2 * 2 * 3 * 5 = 120 (Mehrfach)Hier ein zweiter Lösungsansatz, diesmal rekursiv:
Wieder allgemein löst Du:
a + b + c + d + e = 120
mit a,b,c,d,e aus {1,…,50}.
Wir können nun schon mal alle a zählen und gleichzeitig das Problem reduzieren, denn
für a=1 erhalten wir 1 + b + c + d + e = 120 und damit ist das neue Problem, 4er-Kombinationen aus der Menge {1,…,50} zu ermitteln, für die gilt:
b + c + d + e = 119
Dabei müssen wir 50 solche Probleme lösen (bis b + c + d + e = 70), aber den Trick können wir erneut ansetzen, b fest wählen, und dann c + d + e = 70 - b lösen und zählen, wieviele 3er Kombinationen es gibt.
Beachte, daß es auch manchmal keine Lösungen gibt, z.B. für fest gewähltes a = b = c = 1 finde ich keine 2er Kombinationen mehr, für die gilt: d + e = 117 mit d,e aus {1,…,50}.
hi,
Ich hab so die Vermutung, es soll jede Zahl nur einmal verwendet werden. Die Frage klingt nicht danach, als ob man sich damit rausreden kann, dass es mehrere tausend Varianten gibt, wenn man nur die Summanden vertauscht.
Daher Logisch aufbauen. Wenn keine Formel gefragt ist, dann damit nicht belasten.
Klar ist, die Summe bleibt gleich, wenn man die Summanden untereinander ausgleicht.
5 +5 ist 10 und 4 + 6 immer noch, ebenso wie 3 + 7
Das kann man ausnutzen ohne sich groß mit Formel herumzuschlagen.
bei je 3 Zahlen addieren wir also eins
bei einer Zahlen subtrahieren wir eins
und die letze muss um 2 vermindert werden, damit das Ergebnis gleich bleibt.
Das geht ebenso mit 4 mal +1 und einmal -4, da finde ich es aber nicht so schön übersichtlich, da sich die Zahlen dann schon leicht überschneiden.
Klar ist also, 4 Zahlen werden sich nur minimal erhöhen bzw verringern, eine dafür ums doppelte.
Alle Zahlen werden bei 5 Möglichkeiten nie um mehr als 10 Abweichen.
Perfekt, 5 10er Blöcke haben wir ja.
3 Zahlen springen also je um Eins, sagen wir das sind 1, 11 und 21
eine Zahl reduziert sich um 2, die lassen wir vorsichtshalber bei 50 starten
den Rest darfst du selbst rechnen.
grüße
lipi