Kombinatorik

Wissenschaft Mathematik
#1

Liebe/-r Experte/-in,

ich beschäftige mich hobbymäßig mit mathematischen Problemen , bin auch relativ fit - nur an der Kombinatorik verzweifle ich regelmäßig.

Hier meine Fragen:

„An einer Sendung von 90 Batterien werden zu einer Stichprobenprüfung 4 willkürlich herausgegriffen. Wie viele Auswahlmöglichkeiten gibt es?“
Ist es hier richtig mit den Binomialkoeefizienten zu arbeiten? Ich würde es so sehen : Reihenfolge interessiert nicht, ohne Wiederholung - also mit einem Griff…
Wären 2555190 Möglichkeiten - stimmt das?

Und weiter:
„18 Schüler bewerben sich in einem Betrib für einen Ferienjob (8 Mädchen und 10 Jungen)
Der Betrieb kann die Schüler für 3 Arbeiten einsetzen, und zwar bei der ersten Arbeit 3 Mädchen, bei der 2. fünf Jungen und bei der dritten 4 Mädchen oder Jungen.
Wieviele Einstellungsmöglichkeiten gibt es für den Betrieb?“

Und wieder würde ich mit Binomialkoeffizienten arbeiten:8 über 3 für Arbeit 1 , dann 10 über 5 für Arbeit 2 und 18 über 4 für die 3 Arbeit.
Wäre 56+252+3060=3368
Sind die Gedanken richtig…?

Und letztendlich:
In einer Internatswohnung stehen 2 Dreibettzimmer und 1 Zweibettzimmer zur Verfügung. In die Wohnung ziehen 8 Jungen ein
Wieviel Möglichkeiten der Zimmerbelegung gibt es:
also wieder binomialverteilung und zweimal 8 über 3 und einmal 8 über 2?
Ware:56+56+23= 135

Erscheint mir verdammt viel…?

Ach ja und noch ne vierte mit Fragezeichen
Wieviele verschiedene Farbmuster ergeben sich, wenn 4 rote, 2 weiße und 2 grüne Perlen aneinandergereiht werden?
Hier spielt die Reihenfolge ne Rolle - also wäre hier Fakultät gefragt - nach meinen Dafürhalten:
8!/4!2!2!=420

Sind meine Gedankengänge richtig bzw. wo habe ich Denkfehler?.
Mit besten Dank im voraus, grüßt

Birgit Rutscher

#2

Hallo Birgit,
deine Lösungen sind teilweise richtig.
Vorab aber zur Notation, da man die mathematische Notation hier nicht darstellen kann:
n über k = n! / ((n-k)!) * k!)
Ich gehe aber auf alle einzelnen Fragen ein:

Die Aufgabe mit den Batterien:
4 aus 90 ohne Berücksichtigung von Wiederholungen
Also 90 über 4 = 90 * 89 * 88 * 87 / (1 * 2 * 3 * 4) = 2.206.755

Die Aufgabe mit den Ferienjobs:
Job 1: 8 über 3 = 56
Job 2: 10 über 5 = 252
Job 3: 18 über 4 = 3368.
Soweit wie von Dir gelöst.
Sind die Jobs unabhängig voneinander zu besetzten muss man die Möglichkeiten multiplizieren.
Nimmt man allerdings bei Job 3 an, dass sich die Zahl der Bewerber durch die Besetzung von Job 1 und 2 reduziert, muss man für Job 3: 10 über 4 = 210 berechnen.

Die Belegungsaufgabe:
Beim 1. Dreibettzimmer muss man von den 8 Jungs 3 aussuchen. (8 über 3) = 56
Beim 2. Dreibettzimmer muss man von den restlichen 5 Jungs wieder 3 aussuchen. (5 über 3) = 10.
Bei Zweibettzimmer bleiben nur 2 Jungs übrig, also keine zusätzlichen Möglichkeiten (=Faktor 1).
Also insgesamt 56 * 10 = 560 Möglichkeiten.
Übrigens: Wenn man erst mit der Belegung des Zweibettzimmers beginnt, kommt man zum gleichen Ergebnis:
(8 über 2) * (6 über 3) = 28 * 20 = 560
Es wäre ja auch schade, wenn das zu einer anderen Lösung führt.

Und zuletzt die Farbmusteraufgabe:
Ich gehe da so ran:
Wieviele Möglichkeiten gibt es, die Position der roten Perlen zu wählen: (8 über 4).
Wieviele Möglichkeiten gibt es, die weißen Perlen auf die restlichen 4 Positionen zu verteilen: (4 über 2).
Die restlichen Positionen sind dann festgelegt.
Das ergibt dann 420 Möglichkeiten.
Auch hierbei ist es unbedeutend, mit welchen Farben man beginnt.

Ich hoffe, Dir mit dieser Nachricht geholfen zu haben.

Gruß
Franz-Josef

#3

Hallo Franz-Josef,

herzlichen Dank für die Antworten., Dann lag ich bei Aufgabe 1 richtig , wobei mein TR ein anderes Ergebnis "ausspuckt. Aufgabe 2 war richtig angefangen - dann aber die Multiplikation…das hättre ich wissen müssen…- ist klar. Aufgabe 3 hab ich vollkommen falsch "angegangen , ist nun zwar logisch wäre ich aber nie drauf gekommen. Aufgabe 4 komme ich mit anderen Rechenweg aufs gleiche Ergebnis - scheint beides zu gehen.
Vielen Dank für die verständliche Erklärung!

Mit besten Dank grüßt

Birgit