Kombinatorik oder Variante?

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

Immer wieder stellt mich die Kombinatorik  vor Fragen:
Folgende Frage:

  • Fußball EM wird  in 8 verschieden Städten ausgetragen
  • 4 Viertelfinalspiele , 2 Halbfinalspiele und Finale sollen in verschieden Städten ausgetragen werden
  • gefragt ist die nach der Anzahl der Möglichkeiten die genannten verschiedenen Spiele den betreffenden Städten zu zu ordnen

Nun meine Lösungsüberlegung.
Ohne Zurückegen (soll ja in verschiedenen Stadien ausgetragen werden)
mit Beachtung der Reihenfolge
würde beuten n!/(n-k)!
Dann komme ich ins stolpern:
8!/4! (Vietelfinale )+8!/6! Halbfinale+8!/7! Finale … wären 1744 Möglichkeiten…
Kommt mir zu viel vor… oder gleich
8!/7! wären nur 8 Möglichkeiten?
Oder gar als Variation auffassen??

Mit besten Dank im voraus

teddy

#2

Hallo,

na, das ist doch machbar. Wenn alle Spiele verschieden wären, gäbe es natürlich gerade soviele Möglichkeiten, wie man Permutationen mit acht Elementen anstellen kann. Wie Du sicher weißt sind das 8! Stück.

Da nun aber die vier Viertelfinalspiele und die beiden Halbfinalspiele untereinander ununterscheidbar sind, muss die 8! eine entsprechende Korrektur erfahren, indem sie durch die den Viertel- und Halbfinalspielen entsprechenden Möglichkeiten-Anzahlen dividiert wird. Wenn Du Dir überlegst, dass diese Möglichkeiten wiederum durch Permutationen zustandekommen (nämlich jener der Viertelfinalspiele untereinander, und dito für die Halbfinalspiele), dann kennst Du die Divisoren und weißt damit auch schon alles, um die Lösung hinschreiben zu können.

Das kombinatorische Modell für diesen Fall heißt „Permutation mit Wiederholung“.

Gruß
Martin

PS: Ich finde \frac{8!}{4! \cdot 2!} = 840 immer noch beachtlich viel.

#3

Hallo ,

ich danke Dir für die Erklärung zund wieder mal bin ich schon am 1. Schritt gescheitert. Natürlich Variation.
Alles andere ist dann klar.

Liebe Grüße und danke

teddy

P.S. Nur stolpere ich irgendwie immer bei diesen Thema…? (obwohl ich sonst kaum schwierigkeiten mit Mathe habe)