Kombinatorik Variation ?

Wissenschaft Mathematik
#1

Guten Tag,

ich habe folgendes Problem, ich möchte die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass 2 Freundinnen nebeneinander an einem runden Tisch mit 8 Plätzen sitzen.

Insgesamt gibt es 8 Personen, die zufällig am Tisch verteilt sind. (Es gibt nur 8 Plätze)Unter den 8 Personen sind auch die Freundinnen dabei.

Mein Lösungsansatz:

-die Reihenfolge ist zu beachten
-ohne Wiederholung
Also handelt es sich um eine Variation.

Nun insgesamt gibt es 8 Fakultät Sitzmöglichkeiten =40320.
Dann dachte ich mir 2 hoch 8 Möglichkeiten zum nebeneinander sitzen gibt = 256 Plätze.
Anschließend teile ich die (256/40320)*100, nun kommt mir diese Prozent Zahl viel zu klein vor.

Ich bin dankbar für eure Hilfen.

LG sunfun

#2

Hallo,

Dann dachte ich mir 2 hoch 8 Möglichkeiten zum nebeneinander
sitzen gibt = 256 Plätze.

wie kommst Du auf 28?

Die Freundinnen mögen Eva und Sabine heißen. Wie viele Möglichkeiten der Platzwahl gäbe es für Eva, wenn sie ohne Sabine zur Party gekommen wäre? Wieviele Platzierungsmöglichkeiten gibt es für Eva und Sabine, wenn Sabine immer rechts von Eva sitzen soll? Wieviele Platzierungsmöglichkeiten gibt es dann im Sinne der ursprünglichen Frage, d. h. Eva und Sabine sitzen auf benachbarten Plätzen?

Anschließend teile ich die (256/40320)*100, nun kommt mir
diese Prozent Zahl viel zu klein vor.

Du hast noch etwas vergessen, was mit 6! eingeht.

Gruß
Martin

#3

Hallo,

Dann dachte ich mir 2 hoch 8 Möglichkeiten zum nebeneinander
sitzen gibt = 256 Plätze.

wie kommst Du auf 28?

hmm also vergessen wir dass mal, da hab ich jetzt eine neue Lösung:
8!/(8-2)!=56

Die Freundinnen mögen Eva und Sabine heißen. Wie viele
Möglichkeiten der Platzwahl gäbe es für Eva, wenn sie ohne
Sabine zur Party gekommen wäre?

Nun ja, wenn sie die esrte wäre 8 Platzierungsmöglcihkeiten.
Wie viele Platzierungsmöglichkeiten gibt es für Eva und Sabine, wenn

ursprünglichen Frage, d. h. Eva und Sabine sitzen auf
benachbarten Plätzen?

56 Platzierungsmöglichkeiten für beide.

Du hast noch etwas vergessen, was mit 6! eingeht.

hmm 8!/2!*6! ??? ist es nun so richtig ?

muss ich das Ergebnis davon durch 8! teilen ?

Danke sunfun

#4

Die Freundinnen mögen Eva und Sabine heißen.
Wie viele Möglichkeiten der Platzwahl gäbe es für
Eva, wenn sie ohne Sabine zur Party gekommen wäre?

Nun ja, wenn sie die esrte wäre 8 Platzierungsmöglcihkeiten.

8 ist richtig.

ursprünglichen Frage, d. h. Eva und Sabine sitzen auf
benachbarten Plätzen?

56 Platzierungsmöglichkeiten für beide.

OK, 56 ist die korrekte Zahl der Konfigurationen für Eva und Sabine ohne die Einschränkung „sitzen nebeneinander“. Gesucht ist aber die Zahl der Konfigurationen mit dieser Einschränkung. Wie groß ist sie? Wenn Du Dir bei Deinen Überlegungen unsicher bist, liste einfach mal alle Konfigurationen explizit in einem Texteditor auf („E“ für Eva, „S“ für Sabine und „–“ für die sechs übrigen Personen). Das ist fix gemacht, lässt Dich das Schema erkennen, und die richtige Zahl der Konfigurationen gibts gratis dazu.

hmm 8!/2!*6! ??? ist es nun so richtig ?

Nein, aber das ist kein Wunder, weil es ja mehr durch Raten statt durch Denken zustandegekommen ist… :wink:

#5

Wenn Du Dir bei Deinen

Überlegungen unsicher bist, liste einfach mal alle
Konfigurationen explizit in einem Texteditor auf („E“ für Eva,
„S“ für Sabine und „–“ für die sechs übrigen Personen). Das
ist fix gemacht, lässt Dich das Schema erkennen, und die
richtige Zahl der Konfigurationen gibts gratis dazu.

hmm das versteh ich jetzt nicht so richtig, also die Überlegung die ich Anfangs hatte war, das 8 Plätze zur Verfügung stehen, wenn man diese nun nummerieren würde, gäbe es 8 Sitzmöglichkeiten nebeneinander für die Freundinnen :

1/2
2/3
3/4
4/5
5/6
6/7
7/8
8/1

Nun können sie mir sagen, ob ich die Aufgabe mit einer bestimmten Formel lösen kann ???

danke im Voraus.

#6

Hi, das Variationsthema gilt leider nur für lineare Anordnungen; dass der Tisch rund ist, und Platz 8 ebenfalls neben Platz 1 liegt, ist dabei nicht berücksichtigt.
Meine Lösung ist sehr viel einfacher als die bisher vorgeschlagene:
Für Sabine gibt es 8 Plätze, das ist aber egal. Eva kann auf 7 Plätzen sitzen, davon sind zwei neben Sabine, also Wahrscheinlichkeit 2/7.

Grüße, guidot

#7

zu umständlich?

hmm das versteh ich jetzt nicht so richtig, also die
Überlegung die ich Anfangs hatte war, das 8 Plätze zur
Verfügung stehen, wenn man diese nun nummerieren würde, gäbe
es 8 Sitzmöglichkeiten nebeneinander für die Freundinnen :

1/2
2/3
3/4
4/5
5/6
6/7
7/8
8/1

Und dann noch die Möglichkeiten, bei der sie ihre Plätze miteinander tauschen, d.h. 2/1, 3/2 etc., oder?
Wenn die 56 aus den letzten Antworten stimmt, ergibt sich 8*2/56=2/7.

Meine Überlegung zu der Aufgabe: Wenn man einen Platz besetzt, sind zwei von den übrigen sieben daneben, damit komme ich auf 2/7. (Denkzeit: ca. 3 Sekunden)
Wenn ich nichts übersehen habe: War das wirklich so schwer?

mfg,
Ché Netzer

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#8

hallo

Und dann noch die Möglichkeiten, bei der sie ihre Plätze
miteinander tauschen, d.h. 2/1, 3/2 etc., oder?
Wenn die 56 aus den letzten Antworten stimmt, ergibt sich
8*2/56=2/7.

Meine Überlegung zu der Aufgabe: Wenn man einen Platz besetzt,
sind zwei von den übrigen sieben daneben, damit komme ich auf
2/7. (Denkzeit: ca. 3 Sekunden)
Wenn ich nichts übersehen habe: War das wirklich so schwer?

Warum sind denn ausgerechnet 2 von den übrigen 7 daneben und nicht 3 ?
wie kommen Sie auf die 2 ?

mfg
sunfun

#9

hmm 8!/2!*6! ??? ist es nun so richtig ?

Nein, aber das ist kein Wunder, weil es ja mehr durch Raten
statt durch Denken zustandegekommen ist… :wink:

Also raten würde ich nicht sagen, ich habe mich auf die Formel n!/(n-k)!
bezogen, da es sich um ein Auswahlproblem ohne Wiederholung und mit beachtung der Reihenfolge handelt, aber dies scheint ja leider falsch zu sein. Ich denke, dass es daran liegt, das hier ein runder Tisch in betracht genommen werden muss. Bin mir aber nicht sicher.

MfG
sunfun

#10

Warum sind denn ausgerechnet 2 von den übrigen 7 daneben und
nicht 3 ?
wie kommen Sie auf die 2 ?

Wenn du an einem runden Tisch sitzt: Wieviele Nachbarplätze hast du dann? Einen links und einen rechts, oder?

mfg,
Ché Netzer

#11

1/2
2/3
3/4
4/5
5/6
6/7
7/8
8/1

Gut! Nun musst Du aber noch berücksichtigen, dass Du E und S als verschiedene Personen betrachtest (das tust Du deshalb, weil Du sagtest „Es gibt es 8 Fakultät Sitzmöglichkeiten“). Was bedeutet die Verschiedenhaftigkeit aber für die Platzbesetzungen ES und SE? Wieviele Möglichkeiten gibt es also für E und S auf zwei bestimmten benachbarten Plätzen zu sitzen? Nicht eine, sondern …?

Aaaaalso: 8! Konfigurationen gibt es total. Eva und Sabine können auf 2 · 8 verschiedene Weisen nebeneinandersitzen, nämlich

ES------
SE------
-ES-----
-SE-----
--ES----
--SE----
---ES---
---SE---
----ES--
----SE--
-----ES-
-----SE-
------ES
------SE
S------E
E------S

und für jede dieser Konfigurationen können die übrigen sechs Personen auf 6! Arten Platz nehmen.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist damit

p = \frac{2 \cdot 8 \cdot 6!}{8!}

Wenn Du 6! und 8! als Produkte ausschreibst kannst Du das auf 2/7 kürzen. Und mit welcher cleveren Überlegung man sich auch direkt erschließen kann, dass 2/7 herauskommen muss, kannst Du bei den Kollegen nachlesen.