Komplexe Analysis

Wissenschaft Mathematik
#1

Liebe/-r Experte/-in,
leider kommt meine Anfrage sehr kurzfristig, weil ich selbst erst vor Kurzem von der Aufgabe erfahren habe. Momentan befinde ich mich auf einem Auslandsaufenthalt in Spanien und höre hier eine Vorlesung zur komplexen Analysis. Ein kurzer Überblick, was wir behandelt haben:

  • Integralformel von Cauchy, Integration entlang von Wegen
  • Potenzreihendarstellung von analytischen (=holomorphen?) Funktionen
  • komplexer Logarithmus
  • ganze Funktionen, Satz von Liouville
  • Lemma von Schwarz, Reflexionsprinzip von Schwarz
  • isolierte Singularitäten, Laurentreihen
  • Residuensatz
  • Prinzip des Arguments, Satz von Rouché
    Jetzt hat mich heute eine Mail erreicht, dass wir möglichst HEUTE NOCH einen Satz Aufgaben abgeben müssen. Ein kleiner Teil ist mir gelungen, beim Rest stehe ich bisher auf dem Schlauch:
    Die eine Aufgabe lautete: Sei f analytisch (holomorph?) in der abgeschlossenen Einheitsscheibe D mit f(0)=1 und 1 1/M erfüllt.

Die Existenz der Nullstelle habe ich mittels 1/f und Maximumsprinzip bewiesen, aber für den zweiten Teil der Aufgabe fehlt mir komplett der Ansatz. Wir wissen, dass |alpha|

#2

Hallo Sandra,

huh, bei der ersten Aufgabe sehe ich leider schon nicht, wie man auf die Existenz der Nullstelle kommt…

Bei der Aufgabe 2b hingegen braucht man doch bloss die Ableitungen der Funktion f(z) = \log(1+z) - \log(1-z) auszurechnen. Es ist
f^{(n)}(z) = (n-1)! \cdot \left[\frac{(-1)^{n-1}}{(1+z)^n} + \frac{1}{(1-z)^n} \right] (Beweis durch vollständige Induktion)
und damit insbesondere:
f^{(n)}(0) = \left{ \begin{array}{l}2\cdot(n-1)! \quad\mbox{f"ur ungerade;}n\ 0 \quad\mbox{f"ur gerade;}n \end{array} \right.
Also ist
a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} = \left{ \begin{array}{l}2/n\ 0\end{array}\right.

Ob sich dieses Ergebnis für die Aufgabe 2c benutzen läßt? Da muss ich noch einmal drüber nachdenken.

Aber so viel fürs erste. Schöne Grüße,

Manfred

#3

Hallo nochmal,

na klar! Wir hatten ja:
\frac{f(z)}2 = \frac{\log(1+z)-\log(1-z)}2 = \sum_{n=0}\frac{z^{2n+1}}{2n+1}
Also ist:
\frac{f\Big(\exp(i\varphi)\Big)}2 = \sum_{n=0}\frac{\exp\Big(i\cdot(2n+1)\varphi\Big)}{2n+1} = \sum_{n=0}\frac{\cos\Big((2n+1)\varphi\Big) + i\sin\Big((2n+1)\varphi\Big)}{2n+1}
Daraus folgt:
\sum_{n=0}\frac{\cos\Big((2n+1)\varphi\Big)}{2n+1} = \mathcal{R}\mathrm{e} \left{ \frac{\log\Big(1+\exp(i\varphi)\Big)-\log\Big(1-\exp(i\varphi)\Big)}2 \right}
und
\sum_{n=0}\frac{\sin\Big((2n+1)\varphi\Big)}{2n+1} = \mathcal{I}\mathrm{m} \left{ \frac{\log\Big(1+\exp(i\varphi)\Big)-\log\Big(1-\exp(i\varphi)\Big)}2 \right}
Wenn man \log\Big(1\pm\exp(i\varphi)\Big) noch entsprechend umformt, sollten sich die Real- und Imaginärteile bestimmen lassen.

Schöne Grüße,

Manfred

#4

Aargh, das sollte natürlich heißen:

Wenn man \log\Big(1\pm\exp(i\varphi)\Big) noch entsprechend umformt, sollten sich die Real- und Imaginärteile bestimmen lassen.

#5

Hallo Manfred,
vielen Dank!!! Ich habe nun selbst auch noch etwas hingekriegt und zumindest bei Teil b, also der Koeffizientenbestimmung dasselbe heraus. Zu Teil c: Wir haben aber in Teil b doch nur die Koeffizienten für |z|

#6

Hallo Sandra,

ah, guter Einwand! Auf den Konvergenzbereich hatte ich gar nicht geachtet… (Ups!)

Aber ist es nicht trotzdem so, dass zumindest in dem Fall, wo die beiden Reihen – d.h. die mit cos und sin; ich nenne die jetzt einmal C(phi) und S(phi) – konvergieren, C(phi) + i S(phi) = f( exp(i phi) ) ergibt?
Meine Vermutung kann auch falsch sein, das ist nur das Bauchgefühl eines ahnungslosen Physikers…

was meinst du genau mit „log entsprechend umformen“?

Mit ein bisschen Trigonometrie in der komplexen Ebene hat man:
1 \pm \exp(i\varphi) = (1\pm\cos\varphi) + i\sin\varphi = \sqrt{(1\pm\cos\varphi)^2 + \sin^2\varphi;} \cdot \exp(i\alpha_\pm)
mit
\tan\alpha_\pm = \frac{\sin\varphi}{1\pm\cos\varphi}
Daher ist:
\log\Big(1\pm\exp(i\varphi)\Big) = \frac{1}{2}\log\Big(2 \pm 2\cos\varphi\Big) + i\alpha_\pm

bis hierher war deine Antwort schon eine große Hilfe!

Das freut mich.
Vielen Dank für das (hier leider selten gesehene) Feedback!

Schöne Grüße,

Manfred

P.S. Wenn man bei der 2a voraussetzen kann, dass log(z) in der geschlitzen Ebene analytisch ist, kann man sich den Bereich, wo f(z) analytisch ist, leicht zusammensetzen.

#7

Tut mir Leid. Im Moment bin ich zu krank, um so heftig zu denken. :frowning:

#8

Hallo Sandra

Es tut mir leid. Ich habe Ihre Anfrage heute erst gesehen und könnte ausführlich erst Mitte der Woche antworten, da ich bis dahin meinen sonstigen Verpflichtungen nachkommen muss.
Ich denke jedoch, dass sich bereits jemand anders Ihrer Aufgaben angenommen hat, denn sie sind zum Glück nicht sonderlich schwer, da es sich um typische Übungsaufgaben handelt. Wenn Ihnen bis dahin niemand geholfen hat und wenn Sie es dann noch für sinnvoll erachten, können Sie sich ja am Mittwoch noch einmal melden.

Mit freundlichen Grüßen

Thomas Klingbeil

#9

Hallo,
vielen Dank fuer die Antwort. Ja, es wurde bereits geantwortet und inzwischen verbleibt nur noch der zweite Teil der ersten Aufgabe, also zu beweisen |alpha|>1/M.
Mittwoch ist es wohl zu spaet, vielleicht haben Sie fuer diesen Teil zufaellig einen Hinweis fuer mich?
Vielen Dank!!
Sandra Kiefer

#10

Habe Sie es schon mit der Cauchy’schen Ungleichung versucht? Damit würde ich mich als erstes beschäftigen.
Leider fehlt mir dazu im Moment die Ruhe, es zu versuchen, aber in dieser Ungleichung kommt alles vor, was Sie brauchen.
Die Positon der Nullstelle Alpha kommt über den Begriff des Konvergenzradius rein. Denken Sie sich eine Gerade durch den Ursprung und Alpha, nehmen Sie dann die Mitte der Strecke von Alpha bis zum Einheitskreis als a und betrachten Sie wieder 1/f. Dann reicht der Konvergenzradius R um a bis an die Nullstelle und den Einheitskreis heran.
Vielleicht hilft Ihnen dieser Ansatz weiter.

#11

Hmm, ich weiß nicht genau, welche Sie meinen bzw. wie die, die ich gefunden habe, mir helfen sollen. Und was meinen Sie mit „Konvergenzradius R um a“? R und a sind doch beides Radien. Ich kann doch um eine Nullstelle nicht 1/f betrachten, oder? 1/f ist dort ja gar nicht holomorph…
Naja, ich versuche es mal ein bisschen weiter, aber bisher führt alles in eine Sackgasse.

#12

Hallo Sandra

Ich meine die Ungleichung, die hier: http://www.mathematik.uni-kassel.de/~langer/UEBUNGEN…
unter 10.1 verwendet wird.

a ist kein Radius sondern ein Punkt. So, wie ich a konstruiert habe, befindet sich bei der Nullstelle Alpha von f natürlich eine Singularität von 1/f, was den Konvergenzradius R um a bestimmt.

Zeichnen Sie es sich doch mal auf. Beginnen Sie mit dem Einheitskreis, setzen Sie eine Nullstelle Alpha hinein und bestimmen Sie a, wie ich es beschrieben habe. Dann betrachten Sie 1/f und fragen sich, in welchem Umkreis von a die Funktion 1/f konvergiert.

Ob dieser Ansatz weiterführt, kann ich nicht mit Bestimmtheit sagen. Mein erster Urlaubstag ist der Donnerstag, und bis dahin brennt hier der Tannenbaum, sodass ich mich nicht näher damit beschäftigen kann.

Viel Glück.

Mit freundlichen Grüßen

Thomas Klingbeil

#13

Hallo Sandra,

tut mir Leid, dass ich erst jetzt antworte. Ich war die letzte Woche über selbst im Auslaund und - man möchte es kaum glauben - komplett ohne Internet.
Ich nehme an, dass sich die Frage inzwischen ohnehin erledigt hat, wenn nicht, würde ich mir die Aufgaben aber nochmal näher anschauen.

Gruß Zorki

#14

Ich beschäftige mit Komplexen Analyse zurzeit nicht. Ich werde später es noch gucken. Es tut mir Leid, dass habe dir nicht geholfen. Hast du die Prüfungen geschafft? Wie alt/jung / bist Du, wenn ich fragen darf?
Viel Glück in Leben und Studien.

#15

Hi,
sorry für die späte Reaktion. Inzwischen bin ich 25.
Viele Grüße,
Sandra