Hallo,
ich hab hier die Gleichung z^2= i
hat die Lösung z1= (1+i)/wurzel2 und z2= -(1+i)/wuzel2
Könnt Ihr mir bitte helfen und sagen, wie ich auf diese Lösung komme.
Ich denke mal das muss über die Polarkoordinatendarstellung gemacht werden?
r wäre demnach wurzel 1²+1² gleich wurzel2, kann das sein?
Gruß haner
Hallo,
woher hast du diese Lösung?
ich hab hier die Gleichung z^2= i
hat die Lösung z1= (1+i)/wurzel2 und z2= -(1+i)/wuzel2
Könnt Ihr mir bitte helfen und sagen, wie ich auf diese Lösung
Ich wüsste jedenfalls keinen Zusammenhang, in dem diese Lösung korrekt wäre.
So wie ich das sehe, sind die Lösungen -wurzel(i) und +wurzel(i).
Grüße
powerblue
Ich hab das aus einem script. Müsste eigentlich schon so stimmen.
Ja,
über die Polarzerlegung. i entspricht einer Drehung von 90°=-270°, die Wurzel der halben Drehung und damit einer Drehung von 45° oder 135°, was in arithmetische Koordinaten übersetzt genau diese Werte ergibt, denn cos45°=sin45°=1/wurzel(2).
Es gibt auch eine direkte arithmetische Formel für die Quadratwurzel komplexer Zahlen, siehe Wikipedia-Quadratwurzel.
Gruß, Lutz
ich hab hier die Gleichung z^2= i
hat die Lösung z1= (1+i)/wurzel2 und z2= -(1+i)/wuzel2
Ich wüsste jedenfalls keinen Zusammenhang, in dem diese Lösung
korrekt wäre.
Einfach Probe durch Einsetzen.
Deine Antwort war noch nichtmal lustig, entspricht also nicht den hiesigen Richtlinien, deshalb sei an D. Nuhr erinnert.
Gruß, Lutz
Hi,
jo stimmt auch. Ich Depp…
die polardarstellung ist der schlüssel, genau. es multiplizieren sich dann ja die längen und es addieren sich die winkel bei einer multiplikation. also ist wurzel(i) = wurzel(1*e^(pi/2*i)) = wurzel(1) * e^((pi/2)/2*i). wobei natürlich zu beachten ist, dass es im komplexen n wurzeln n-ten grades gibt, die gleichmäßig im kreis angeordnet sind, wobei die erste der hauptwert ist (hier e^(pi/4*i) = (1+i)/wurzel(2)). bei der zweiten lösung der quadratwurzel hat man also einfach den negativen wert. ich würde die lösung direkt als wurzel(e^(pi/2*i)) = e^(pi/4*i) und e^(-3*pi/4*i) notieren.
Hallo,
die polardarstellung ist der schlüssel, genau.
Warum so kompliziert? Wie wär’s mit einem Koeffizientenvergleich?
z ist imaginär also so etwas wie a + jb.
z^2 ist dann a^2 + 2jab - b^2. Also entspricht der Realanteil von z^2 dem Ausdruck a^2- b^2 und der Imaginäranteil dem Term 2jab. Rechts des Gleichungszeichens befindet sich nur j, also ist der Realanteil Null. Somit a^2- b^2= Null, also a = b. Der Imaginäranteil der rechten Seite ist eins, also 2ab = 2a^2 = 1. Mit a = b = plusminus 1/Wurzel(2)
Gruß
Peter
Hi Lutz,
meine Antwort sollte auch nicht lustig sein sondern war zu dem Zeitpunkt (also im Zustand mathematischer Leere in meinem Kopf) durchaus ernst gemeint.
Anschließend habe ich darauf hingewiesen, dass sie falsch war. Zu erklären gab es da nichts mehr, da du das bereits übernommen hattest.
Grüße
powerblue
z^2= i
i ist eine komplexe zahl in binomialform (a+b*i mit a = 0, b = 1), die rechnet man in polardarstellung um. ergibt radius r = 1, winkel p = 90°
also i = (r;p) = (1;90°)
z^2= i -> z = wurzel_2(i) … also die zweite wurzel.
für die wurzel in polardarstellung gibt es eine formel:
wurzel_n(z) = (wurzel_n®; (p + 360*k)/n) mit 0
genau - das ist vielleicht sogar naheliegender mit normaler schulmathematik und auch sehr einfach. mein persönlicher geschmack wäre nur eher über die eulersche identität e^(phi*i) = cos(phi) + sin(phi)*i zu gehen, ich mag die formel einfach - außerdem muss man hier ja nur den winkel halbieren (und wäre die länge in einem anderen fall ungleich 1 müsste man die wurzel ziehen), wenn man also mit der polardarstellung vertraut ist, ist meine methode mindestens genau so einfach. deine ist aber wohl didaktisch besser, da man lernt seine altbekannte reelle mathematik auch für die lösung komplexer probleme zu verwenden - während meine methode eher die ist, wenn man direkt mit komplexer rechnung probleme lösen will.