Komplexe Zahlen in der Zahlenebene darstellen

Wissenschaft Mathematik
#1

Guten Abend liebe Experten,

folgende Zahl ist gegeben und soll in der komplexen Zahlenebene dargestellt werden:

z = 1 - sqrt (3*i)

Mein Ansatz: Umwandlung in Polarkoordinaten. Also zunächst Betrag ausgerechnet (r=2) und danach den Winkel (60°=Pi/3) bestimmt. Dann komme ich zunächst auf:

z = 2 (cos(Pi/3) - i*sin(Pi/3))

Wenn ich das nun ausrechne, kommt für den Realen Teil etwa 2 raus und für den Imaginären - 0,037, was offensichtlich falsch ist, denn wolframalpha spuckt mir

  • 0,22474 (Re) und - 1,22474 (Im) aus.

Wo ist mein Fehler? Was mache ich falsch?

#2

Hallo,

du solltest deinen Taschenrechner auf Radianten umstellen. Sonst wird das nix.
Mich würde aber schon interessieren, wie du auf die Länge und den Winkel kommst.
Ich würde bei der Aufgabe folgendermaßen vorgehen: Die Polarkoordinaten von Wurzel 3i
ausrechnen. Das sind 45° bzw 225° und ein Radius von Wurzel 3. Und diese Vektoren dann grafisch vom 1-Vektor abziehen und schon zeigen sie auf die gesuchten Zahlen ohne dass du sie tatsächlich ausrechnen musst.
Dass die Zahlenwerte ziemlich hässlich werden, hat dir ja wolframalpha schon gezeigt.

Nico

#3

Mich würde aber schon interessieren, wie du auf die Länge und
den Winkel kommst.

Naja, wenn 1 mein a ist und Minus Wurzel 3 mein b, dann errechne ich den Betrag doch, indem ich die Wurzel aus a² + b² ziehe. Den Winkel habe ich dann durch Umformung aus a = r*cos (winkel) berechnet.

Ich würde bei der Aufgabe folgendermaßen vorgehen: Die
Polarkoordinaten von Wurzel 3i
ausrechnen. Das sind 45° bzw 225° und ein Radius von Wurzel 3.

Vielleicht kannst du das nochmal genauer erläutern. Ich denke mir also zunächst die 1 - weg, sodass ich nur die Zahl „Wurzel aus 3i“ dort stehen habe? Dann ist a=0 und b=3, soweit richtig? So komme ich auf den von dir genannten Radius von Wurzel 3. Aber beim Errechnen der Winkel hakt es bei mir gerade irgendwie. Wäre nett, wenn du den Schritt nochmal erklären könntest.

#4

Naja, wenn 1 mein a ist und Minus Wurzel 3 mein b, dann errechne ich den Betrag doch, indem ich die Wurzel aus a² + b² ziehe.

Wenn a und b die beiden senkrecht aufeinander stehenden Komponenten eines Vektors sind (oder Realteil und Imaginärteil einer komplexen Zahl), dann schon. Hier ist das aber nicht der Fall, da das i noch in der Wurzel steckt.
Die Polarkoordinaten von 3i sind ja offensichtlich (winkel=90°, radius=3). Um die Quadratwurzel aus einer komplexen Zahl zu ziehen, wird der Winkel halbiert und der radius „gewurzelt“. Deswegen hat Wurzel(3i) einen Radius von Wurzel 3 und einen Winkel von 45°. Die Quadratwurzel ist aber nicht eindeutig. Die initiale Lösung muss noch mit allen zweiten Einheitswurzeln multipliziert werden (das sind 1 und -1). Deswegen ist eine zweite Lösung noch die um 180° gedrehte erste Lösung (winkel=225).

Nico

#5

Guten Tag,

bitte nenne die vollständige Aufgabenstellung. Deiner Rechnung nach ist zu vermuten, dass die Zahl

1-sqrt(3)*i

zu betrachten ist. Und evtl. noch weitere dieser Art. Es ist so nicht ersichtlich, wieso Du die Zahl in Polarkoordinaten darstellen willst. Ist das ein Teil der Aufgabenstellung?

Gruß, Lutz

#6

Hallo,

Du kannst dir das Ergebnis von Quadratwurzel(3i) als eine komplexe Zahl a + i*b vorstellen. Dann entspricht (a + i*b)^2 = a^2 – b^2 + 2 i*a*b dem Ausdruck 3i. 0 + 3i enthält keinen reellen Anteil, also ist a^2 – b^2 = 0, was zwangsläufig bedeutet, dass a = b. Während der Imaginäranteil von (a + i*b)^2 gleich 2*a*b ist, also 2 *a*b = 3. Also a^2 = 3/2 mit a = plusminus Quadratwurzel(3/2). Es geht also manchmal auch ohne Drehen. Das nennt sich dann Koeffizientenvergleich.

Falls du jedoch in deiner ursprünglichen Frage die dritte Wurzel aus i gemeint hast - dein Lösungsansatz ging in diese Richtung - dann wäre die diesbezügliche Deutung von Lutz („sqrt(3) i“) eine Verwirrung ersten Grades deinerseits, weil die Bezeichnung „sqrt“ ja den Begriff „Quadratwurzel“ beinhaltet.

Gruß

Peter

#7

Argh. Ich glaube, ich habe es mir und euch viel zu schwer gemacht. Lutz hat vermutlich recht. Ich habe mir die Aufgabe gerade nochmal angeschaut und tatsächlich, es sieht so aus, als hieße die Zahl 1-sqrt(3)*i. *schäm*

Ich habe die Aufgabe hier nochmal hochgeladen. Das i ist so dicht an der 3, dass ich gestern davon ausgegangen bin, es stünde auch unter der Wurzel. Das scheint aber gar nicht der Fall zu sein. Die Wurzel endet ja nach der 3. Dann wäre es ja einfacher als einfach. Wie seht ihr das: i unter der Wurzel oder nicht?

#8

Fielmann Test
Hallo,

Ich habe die Aufgabe hier nochmal hochgeladen. Das i ist so
dicht an der 3, dass ich gestern davon ausgegangen bin, es
stünde auch unter der Wurzel. Das scheint aber gar nicht der
Fall zu sein. Die Wurzel endet ja nach der 3. Dann wäre es ja
einfacher als einfach. Wie seht ihr das: i unter der Wurzel
oder nicht?

Dann wäre es ja einfacher als einfach…wie du schon schreibst

Ob du das zu sehen glaubst ist deine Sache, ich glaube es nicht. Obwohl es so auszusehen scheint. Damit sind wir beim Glauben angelangt.

Was mich mal abschließend interessieren würde ist, warum du mit dem Ansatz z + 1 = 2 (cos(Pi/6) - i*sin(Pi/6)) auf einen Ausdruck hinsteuertest, der eine Lösung der dritten Wurzel von i ist. Den Term „+1“ habe ich ergänzt damit es stimmt. Denn diese Aufgabenstellung ist in dem abgebildeten Term weder zu ersehen noch zu erglauben.

Besten Gruß

Peter


––––––––––––––
MOD: Formel geändert nach Angabe des Autors. Korrekturartikel gelöscht.

#9

z + 1 = (cos(Pi/6) - i*sin(Pi/6)) wäre natürlich richtig

#10

Hallo,

Wie seht ihr das: i unter der Wurzel oder nicht?

das i steht nicht unter der Wurzel. Hier \sqrt{3} i und \sqrt{3i} zum Vergleich:

\sqrt{3}i \ne \sqrt{3i}

Für genau solche Fälle bietet LaTeX übrigens die Möglichkeit, z. B. mit : kleine Zwischenräume zwangsweise einzufügen. Das hätte ein kompetenter(er) Formelsetzer hier benutzt, um das i etwas abzusetzen und damit für Klarheit zu sorgen:

z = 1 + \sqrt{3}:i

Gruß
Martin

PS: Löse die Aufgabe doch einfach für beide Varianten – weil Übung den Meister macht, und weil sie ein schönes Beispiel für eine bedeutende Tatsache ist, nämlich dass winzige optische Unterschiede in Formeln mathematisch einen Riesenunterschied ausmachen können.