Komplexe Zahlen , lineare algebra

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo, ich wollte fragen, ob mir jemand freundlicher Weise sagen kann, ob meine Ergebnisse richtig sind.
Also die Aufgabe lautet:

  1. Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form x + yi mit x, y ∈ R dar:

  2. (1-i)^3-(1+i)^3

  3. 1/(1+4i)+1/(4-i)

  4. (i+1)/(i-1)

  5. (1/2-(((Wurzel aus 3)/2)i))^3
    Die Ergebnisse sind:

  6. -4i

  7. 25/289-(51/289)i

  8. -i

  9. -1

  10. Zeichnen Sie die folgenden komplexen Zahlen z_1, z_2, z_3, z_4 als Punkte der Ebene
    z_1 =1+(√3)*i, z_2 =i+i^2 +i^3 +i^4 +i^5, z_3 =( 1+3(√7)*i)/4, z_4 =−2−(3/2)*i
    und berechnen Sie ihre Beträge.
    Die Ergebnisse sind:
    z_1 und z_4 habe ich schon gezeichnet, die anderen beiden kann ich leider nicht in das Koordinatensystem zeichnen und wie man die Beträge berechnet, habe ich nicht ganz verstanden. Wäre nett, wenn mir das jemand mal an einer oder 2 der 4 zeigen könnte.

  11. Finden Sie alle reellen Lösungen der Gleichung
    12[(2x + i)(1 + i) + (x + y)(3 − 2i)] = 17 + 6i .
    Die Ergebnisse sind:
    Ich habe das ganze aufgelöst, dabei kam raus:
    60x+12i^2+6i+36y-24iy=17
    Wie erhalte ich jetzt alle reellen Lösungen?

  12. Bestimmen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden L_1 und L_2, falls i)L_1 ={(x,y)∈R^2 |2x+y=6}, L_2 ={(x,y)∈R^2 |7x−2y=10},
    ii)L_1 ={(x,y)∈R^2 |3x+(√3)*y=0}, L_2 ={(x,y)∈R^2 |x−(√3)*y=1}.
    Können Sie jeweils auch den Kosinus des Schnittwinkels berechnen?
    Die Ergebnisse sind:
    Also Schnittpunkte i) (2/2), ii) (0,25/-(√3)/4)
    Wie berechne ich den Kosinus eines Schnittwinkels?
    Wäre nett, wenn mir das jemand mal an einer oder 1 der beiden zeigen könnte.

Liebe Grüße und danke im Voraus
Lana

#2

Hallo;

1.1 ist richtig.
1.2 falsche Zahlenwerte beim Realteil, vermutlich ein Rechenfehler dabei; der richtige Wert sind 5/17-3/17i (d.h. 85/289-51/289i).
1.3 und 1.4 sind wieder richtig.

  1. verstehe ich den Sinn ehrlich gesagt nicht. Du hast doch ein Koordinatensystem mit Real-und Imaginärachse, da ist das Eintragen doch ein Kinderspiel. Beträge lassen sich auch dort einfach sehen, der Betrag der Zahl ist einfach der Abstand zwischen Zahl und Ursprung (d.h.: bei Zahl a+bi ist der Betrag wurzel(a²+b²), der normale euklidische Abstand).
    Um 2. und 3. in das Koordinatensystem einzeichnen zu können, musst du sie zuerst in die Normalform bringen;
    i+i^2+i^3+i^4+i^5=i-1-i+1+i=i, Betrag: sqrt(0²+1²)=1,
    (1+3sqrt7i)/4=1/4+3/4sqrt7, Betrag: sqrt((1/4)²+(3/4sqrt7)²)=6/4=3/2

Bei 3. solltest du das Ganze nach einer Variablen (ich würde x empfehlen) umstellen und nachsehen, für welche (reellen) Werte von y der Faktor vorm i zu 0 wird.

Die Schnittpunkte bei 4. sehen in Ordnung aus, den Kosinus des Schnittwinkels bekommst du ganz einfach über das Skalarprodukt der korrespondierenden Richtungsvektoren heraus (skalarp(a,b)=|a|*|b|*cos cos

#3

Hallo Lana,

Ich weiß nicht, wie kleinlich deine Korrekteure sind, aber wenn die Form x + yi gefordert ist, dann solltest du stat i auch 0+1i schreiben, um sicher zu gehen.

zur 1: schau dir mal wolframalpha.com an zur rechnerischen Prüfung.

Was nicht erwähnt ist, ist richtig.

1.2: hier kommt raus:
\frac{1}{1+4i}+\frac{1}{4-i}=\frac{4-i}{8+15 i}+\frac{1+4i}{8+15
i}=\frac{5+3i}{8+15 i}=\frac{(5+3i)(8-15 i)}{64+225}=\frac{85-51 i}{289}

2: Wieso kannst du z_2 und z_3 nciht zeichnen? i^2=-1, i^3=-i, i^4=1, i^5=i. z_2=i, z_3=0.25+1.98i.
Wenn du die Zeichnung überprüfen willst, einfach in wolframalpha eintippen:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28+1%2B3%28%E2…
Für Beträge gilt einfach: |a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}
Für z_3 wäre das dann
|z_3| = \sqrt{0.25^2+\left(\frac{3\sqrt7}{4}\right)^2}=2

zur 3: Hier ist der Sinn der Aufgabe, x in abhängigkeit von y oder anders herum zu bestimmen.
Hast du beispielweise am Ende x=a+by raus, kennst du alle Lösungen in Abhängigkeit von y. z.B. ist y=0, x=a dann eine Lösung. Eine eindeutige Lösung kann es hier nicht geben, da du nur eine Gleichung für 2 Variabeln hast. Eine eindeutige Lösung für 2 Variabeln bekommst du nur mit 2 oder mehr Gleichungen, wobei ab 3 Gleichungen es auch zu unlösbaren Problemen kommen kann.
Für deine Rechnung müsstest du nun z.B. alle x-Komponenten auf eine Gleichungsseite und alle anderen auf die andere bringen und durch den Vorfaktor von x teilen (60).

4:
Schnittwinkel kann man mittels
\phi = \arctan{\frac{a_1-a_2}{1-a_1\cdot a_2}}
mit a als Steigung berechnen.
bei a_1*a_2=-1 macht dein Taschenrechner vermutlich schlapp, da hier dann durch 0 geteilt wird. der arctan wird gegen unendlich 90°.
zur Herleitung:
Man beachte Steigungsdreiecke der beiden Geraden. Auf dem x-Abschnitt hat es die Länge 1, auf dem y-Abschnitt die Länge a. der Winkel α im Steigungsdreieck links ist dann arctan(a_1), β von der anderen Gerade hat arctan(a_2). gesucht ist nun der Schnittwinkel |α-β|. Mit den Additionstheoremen gilt:

\tan(\alpha-\beta)=\frac{\sin (\alpha -\beta )}{\cos (\alpha -\beta
)}=\frac{(\sin (\alpha )*\cos (\beta )-\sin (\beta )*\cos (\alpha ))}{(\cos
(\alpha )*\cos (\beta )+\sin (\alpha )*\sin (\beta ))}
Erinnerung: Für die Steigung bringe die Geradengleichung auf die Form y=ax+b.

Mit freundlichen Grüßen
Julian

#4

Da hat er doch bei der Herleitung zur 4 etwas verschluckt^^
Hier noch ein Nachtrag:

\tan(\alpha-\beta)=\frac{\sin (\alpha -\beta )}{\cos (\alpha -\beta
)}=\frac{(\sin (\alpha )*\cos (\beta )-\sin (\beta )*\cos (\alpha ))}{(\cos
(\alpha )*\cos (\beta )+\sin (\alpha )*\sin (\beta ))}

=\frac{(\sin (\alpha )*\cos (\beta )-\sin (\beta )*\cos (\alpha ))\frac{1}{\cos
(\alpha )\cos (\beta )}}{(\cos (\alpha )*\cos (\beta )+\sin (\alpha )*\sin
(\beta ))\frac{1}{\cos (\alpha )\cos (\beta )}}

= \frac{\tan(\alpha)-\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\cdot \tan(\beta)}
= \frac{a_1-a_2}{1-a_1\cdot a_2}

#5

1.)
1.) da kommt bei mir -2i^3-6i raus!
2.) da kommt bei mir raus: (3i+5)/(-4i^2+15i+4)
3.) dIE aufgabe kann man überhaupt nicht weiter kürzen!!!
4.)da kann ich dir leider nicht halfen :frowning:

Für die anderen Aufgaben habe ich nun leider, leider keine zeit mehr, ich hoffe, ich konnte dir ein bisschen helfen!!

  1. (1-i)^3-(1+i)^3
  2. 1/(1+4i)+1/(4-i)
  3. (i+1)/(i-1)
  4. (1/2-(((Wurzel aus 3)/2)i))^3 ??? WEIß ICH NICHT
    Die Ergebnisse sind:
  5. -4i FALSCH!!
  6. 25/289-(51/289)i FALSCH!!
  7. -i FALSCH!!
  8. -1
#6

„Derive“ installieren

http://derive.en.softonic.com/

#7

Vielen Dank, hab es hingekriegt.

#8

Hallo Lana!

Hallo, ich wollte fragen, ob mir jemand freundlicher Weise
sagen kann, ob meine Ergebnisse richtig sind.
Also die Aufgabe lautet:

Ist nicht böse gemeint - aber Hausaufgabenhilfe sollte das hier glaube ich nicht sein.
Ich schlage Dir vor, zum Beispiel http://www.wolframalpha.com/ oder ein symbolisches Mathe-Programm für sowas zu benutzen.
Viel Erfolg und Gruß

#9

Danke.

#10

Hallo, habe derzeit auch sehr viel zu tun, deshaln hier;

Finden Sie alle reellen Lösungen der Gleichung

12[(2x + i)(1 + i) + (x + y)(3 – 2i)] = 17 + 6i

Lösung:

12[2x + i + 2ix – 1 + 3x – 2ix + y(3 - 2i)] = 17 + 6i
60x – 12 + 12i + 12y(3 – 2i) = 17 + 6i
12y( 3 – 2i ) = - 60x + 29 – 6i
12y( 3 – 2i )( 3 + 2i ) = ( - 60x + 29 – 6i )( 3 + 2i )
156y = - 180x – 120ix + 99 + 40i

damit die Lösungen reell sind, muss sowohl x als auch y reell sein, d. h.:

y ist reell, also: 120ix = 40i x = 1/3 und

156y = – 60 + 99 y = 1/4

Probe: 12[(2/3 + i)(1 + i) + (1/3 + 1/4)(3 – 2i)] =
= 12[2/3 + 2i – 1 + 21/12 – 7i/6]
= 12[17/12 + 3i/6] = 17 + 6i

#11

Vielen Dank.

#12

http://www.youtube.com/watch?v=bpRlGpFSiyk

#13

Hallo Lana,

lineare Algebra war nicht gerade mein Lieblingsfach…

bin zur Zeit sehr selten im Netz, deswegen auch leider die späte Antwort, sorry. Gehe also davon aus, dass Du Deine Hausaufgaben schon abgegeben hast.

trotzdem viele Grüsse,
Martin