Komplexe Zahlen ohne Taschenrechner

Wissenschaft Mathematik
#1

Guten Abend liebe Experten.

Ich habe ein Problem mit den komplexen Zahlen. Ich verstehe die ja so halbwegs. Und bei uns an der TU darf man in der Mathematikklausur keinen Taschenrechner benutzen. Wenn wir also komplexe Zahlen schreiben, müssen wir sie in diese seltsame Arctan-Form bringen.

Die raff ich sowas von nicht. Das hatten wir nicht im Abitur. Und ich finde keine Informationsquelle für diese Umformung.
Also nehmen wir an man muss die komplexe Zahl z = 2-2Wurzel(3i)

Mit Taschenrechner komme ich schnell auf z= 4(cos(82,81)-isin(82,81))

Jetzt soll die selbe Rechnung mit diesen Arctan Pi gerechnet werden, ohne Taschenrechner.

Danke im Voraus für alle Tipps, Links, Ratschläge etc.

Michail

#2

Guten Morgen,

Ich habe ein Problem mit den komplexen Zahlen. Ich verstehe
die ja so halbwegs. Und bei uns an der TU darf man in der
Mathematikklausur keinen Taschenrechner benutzen. Wenn wir
also komplexe Zahlen schreiben, müssen wir sie in diese
seltsame Arctan-Form bringen.

Was meinst Du mit Arctan-Form? Die Umrechnung von kartesischen in Polarkoordinaten? Hast Du mal in ein Mathebuch geschaut? Das muss doch in der Vorlesung erläutert worden sein … naja.

Es gibt zwei Möglichkeiten, komplexe Zahlen darzustellen. Einmal die „kartesische“ Form, also mit angabe der Koordinaten in der Gausschen Zahlenebene:

z = (a+ib)

Und zum anderen die polare Darstellung, d.h. mit Abstand und Winkel zum Ursprung des Koordinatensystems:

z = r \exp(i \phi) = r (\cos \phi + i \sin \phi)

Wobei „r“ der Abstand zum Ursprung und \phi der Winkel zwischen reeler Achse und „r“ ist.

Unrechnen kann man die eine in die andere Form durch einfache Trigonometrie, die Du hoffentlich „im Abitur“ (oder vorher) gelernt hast.

Die Umkehrfunktion vom Tangens (arctan) ist allerdings nicht eindeutig. Daher muss man umständliche Fallunterscheidungen machen.

\phi = arctan b/a, wenn a > 0 ist.
\phi = arctan b/a + \pi, wenn a 0 ist.
\phi = arctan b/a - \pi, wenn a

#3

z = (a+ib)

Hallo.

Anders gefragt: Du hast eie komplexe Zahl z = (a+ib)
,nun musst du sie ohne Taschenrechner in die Polarform und die eulische Form umrechnen, danach einzeichnen.
Alles ohne Taschenrechner, wie gehst du vor? (mit Taschenrechner weiss ichs ja auch)

Du hast sagen wir mal z = (3 - 2Wurzel(4)i)

Danke im Voraus

#4

z = (a+ib)

Hallo.

Anders gefragt: Du hast eie komplexe Zahl z = (a+ib)

z = a+ib = sqrt(a2 + b2) * exp( i atan(b/a) )
wenn a,b > 0. Wenn ich atan(b/a) nicht im Kopf ausrechnen kann (außer für b=0 oder a=0 oder a=b kann ich das auch nicht), kann ich es einfach so stehen lassen - das macht’s ja nicht falsch.

Wenn a,b > 0 nicht erfüllt ist, phi entsprechend des schon angegeben Links ausrechnen: http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Von_der_a…

Das phi ist dann das gleiche, wenn Du es als Linearkombination von cos und i*sin darstellen willst:
exp(i φ) = cos(φ) + i sin(φ)

Gruß,
Ingo

#5

Hallo,

Anders gefragt: Du hast eie komplexe Zahl z = (a+ib)
,nun musst du sie ohne Taschenrechner in die Polarform und die
eulische Form umrechnen, danach einzeichnen.

Einzeichnen kannst Du sofort, ohne umrechnen, am einfachsten in der kartesischen Form. Ebene zeichnen, reelle und imaginäre Achse eintragen, Abschnitte a und b abtragen, fertig.

Alles ohne Taschenrechner, wie gehst du vor? (mit
Taschenrechner weiss ichs ja auch)

Du hast sagen wir mal z = (3 - 2Wurzel(4)i)

Hier ist das „i“ nicht mehr unter der Wurzel. Das macht die Sache einfacher. Generell ist die Wurzelfunktion nicht eindeutig. Daher hast Du da zwei Zahlen stehen:

z = (3 - 4i) und
z = (3 + 4i)

Jetzt musst Du den Betrag der Zahl ausrechnen:

\sqrt(a²+b²) = \sqrt(3²+4²) = \sqrt(25) = 5

Damit hast Du das r für z = r \exp(i \phi). Fehlt Dir \phi.

Mit meiner vorherigen Antwort kannst Du angeben:

a > 0, b egal -> \phi = \arctan(b/a) = \arctan(-4/3). Das ist leider nicht mehr so richtig klein (Wert > 1), aber man kann ja mal \arctan(x) = x ansetzen. \phi wäre damit ungefähr -4/3 oder (in Grad) -43°. Für die andere Lösung bekommst Du +43°. Das ist leider etwas arg neben dem eigentlichen Wert von 76°. Aber der Winkel ist auch nicht mehr klein. Alternativ kannst Du den Winkel mit dem Winkelmesser aus der Zeichnung ermitteln :smile:

Du kannst Dir aber auch eine Wertetabelle für die arctan Funktion basteln und entsprechend einfach nachgucken, wo Du da ungefähr landest.

Sorry, eine andere Möglichkeit, ohne Taschenrechner die Arctan Funktion zu nähren, kenne ich nicht.

Gruß

Fritze

#6

Hallo Michail,

Du musst ja nicht unbedingt den Arkustangens nähern: Wenn Du schon weißt, dass der Betrag 5 ist, bekommst Du ja auch z.B.
sin(φ)=4/5 oder cos(φ)=3/5 (für z=3+4i). Das kannst Du entweder recht gut aus einem Funktionsgraphen ablesen, oder Du kannst eine Taylor-Entwicklung von der entsprechenden Arkus-Funktion machen, die liefert auch ganz gute Ergebnisse (ich hab’s im ersten Staatsexamen ausprobiert, da hatte ich auch keinen Taschenrechner mit, aber dafür genügend Zeit für Taylor).

Liebe Grüße,
Immo