Kompliziertes Integral mit Keplerschen Fassregel berechnen

Wissenschaft Mathematik
#1

Ich habe eine Frage zu einem komplizierten Integral das ich als Teil meiner GFS als Aufgabe zu bewältigen habe. Die Aufgabe lautet berechnen sie das Integral 10x²(x-1)²(x+1)² dx näherungsweise mit der Keplerschen Fassregel und vergleichen sie mit dem GTR Ergebnis. a= -1 b= 1

Meine Ideen:
Zum ersten Integral habe ich dann gemäß der Formel a, m und b und dazu ya, ym, yb ausgerechnet. Da kam bei mir dann folgendes raus a= -1 m= 0 b= 1 Ya=ym=yb=0 Als ich dies dann in die Fassregel eingesetzt habe kam wie erwartet 0 raus. Doch das GTR Ergebniss ist 1,5 23. So stehe ich also vor einem Problem.

#2

Ist doch kein Problem, Du musst doch vergleichen. Es waere vllt. sinnvoll zu erkennen, woher das Ergebnis der Naeherungsloesung kommt. Welche Werte „sieht“ die Naeherungsformel denn ueberhaupt? Was passiert, wenn man eine Zwischenstelle bei x=0 einfuegt und zwei Teilintegrale rechnet? Wenn man das erkannt hat, hat man was gelernt.

#3

Hi!

  1. Das Integral ist überhaupt nicht kompliziert, da man durch einfaches Ausmultiplizieren auf ein Polynom kommt, dessen Stammfunktion leicht anzugeben ist.

  2. Im Intervall -1 bis 1 ergibt sich 1.52…, dein GTR hat also Recht

  3. Die Kepler’sche Fassregel würde ich bei 3D-Körpern anwenden. Könnte es sein, dass hier nicht das Integral der genannten Funktion, sondern der Rotationskörper gesucht ist? Also das Integral über 2pi * f^2? Dann ist das Integral immer noch leicht anzugeben, nur das Ausmultiplizieren wäre dann aufwändiger.

  4. Wenn der Rotationskörper gesucht ist, dann ist schnell klar, dass die Kepler’sche Fassregel hier nur anwendbar ist, wenn du zwei Körper in den Intervallen -1 bis 0 bzw. 0 bis +1 bildest, sonst ist die Nullstelle bei x = 0 der Tod der Fassregel.

FHL

#4

Hi,

Okay das stimmt ausmultiplziert ist es nicht mehr so kompliziert.
Nein es ist das Integral gesucht und nicht der Rotationskörper. Die Stammfunktion brauche ich doch gar nicht bei der K.F.
Ich habe nun für das ausmultiplizierte Integral 12x²+2, doch das bringt mich auch nicht auf die Richtige Lösung. Vermutlich irgendwo ein Rechenfehler. Bei dem Aufgaben Teil b) ist außerdem gefordert das Integral aus a) mit der sogenannten Parabelmethode zu berechnen und zu vergleichen! Weiß jemand wie das funktioniert, bei mir ist über der Aufgabe ein Beispiel mit einer Parabel und 3 Punkten, sind diese 3 Punkte dann jeweils a und ya und soweiter?

Viele Grüße und Danke für die Hilfe

#5

Hallo,

Zeichne mal das Schaubild und überlege dir unter welchen Voraussetzungen die Keplersche Fassregel überhaupt funktionieren kann. In deinem Mathebuch findest du auch jede Menge Informationen zum Thema.

Wie viele Punkte willst du ernsthaft erreichen?

Gruß

#6

Hi, na ich versuche soviel wie möglich zu bekommen.

Ich muss das Integral in zwei Teilintervalle einteilen? also zwei Parabeln.

Gruß

#7

Das Ergebnis 0 ist richtig, sowohl nach Fassregel als auch nach Riemann-Integration.Was GTR bedeutet, weiß ich nicht, und nach kursorischer Durchsicht verschiedener Quellen habe ich keine Definition gefunden. Das GTR-Problem kann ich daher nicht lösen.

#8

Hi

GTR bedeutet Graphisch fähiger Taschenrechner. Nun da sagen aber die anderen es wäre falsch und schließlich sagt ja auch mein GTR das in diesem Intervall [a;b] das Integral = 1,5 ist.

Gruß

#9

Es ist alles richtig.
Die Fassregel ergibt Null. Das Riemann-Integral ist dagegen ~ 1,5.
Eventuell möchte der Aufgabensteller, dass Sie die Fassregel überlegt anwenden. Der Fassregel liegt die Annäherung an eine Parabel zugrunde. Es wäre daher günstig, die Funktion in Parabel-ähnliche Abnschnitte zu zerlegen und die Fassregel dann auf die jeweiligen Intervalle anzuwenden.
Die Funktion hat offensichtlich 3 Nullstellen, ist achsensymmetrisch zur Ordinatenachse und nicht-negativ. Es erscheint es mir daher naheliegend, die Fassregel nur auf das Intervall von 0 bis 1 anzuwenden und das Ergebnís dann zu vedoppeln. Versuchen Sie das mal.

#10

Ich habe es nachgerechnet: Deine Rechnung ist korrekt. Da die Funktion gerade ist, kann für diese Werte von a und b nichts anderes herauskommen.

Fazit: Das GTR-Ergebnis ist falsch.

#11

Hallo,
Bei der Aufgabe sollst du zeigen, dass die Fassregel nicht ohne nachzudenken angewendet werden kann. Es bietet sich an, mehr Stützstellen zu verwenden, was auf die Simpsonregel führt.
Das GTR Ergebnis ist korrekt, wie einfaches nachrechnen oder Wolfram Alpha bestätigt.
http://m.wolframalpha.com/input/?i=integrate%2810x%C…

Wie ist die Aufgabe in die GFS eingebettet? Wie ist das genaue Thema und warum ist die GFS so eng gestellt?

Gruß