Alle Katzen haben vier Beine.
Ein Pferd hat vier Beine.
Also ist ein Pferd eine Katze.
Und wie demonstrie ich per Aussagenlogik die nachstehende Folgerung als richtig:
(hier war in der ursprünglichen Frage ein Fehler)
Alle Menschen sind sterblich.
S. ist ein Mensch.
Also ist S. ein Mensch Richtig muss es heißen:
Also ist S. sterblich.
Danke!
Prädikatenlogik
Hallo,
mit Aussagenlogik allein kommst du hier nicht weiter. Dazu brauchst du Prädikatenlogik erster Ordnung.
Das erste Beispiel könnte dann so dargestellt werden:
(∀x Katze(x) ⇒ VierBeine(x)
∧VierBeine(Pferd)) (Falls das Pferd als Individuum gemeint ist)
⇒Katze(Pferd)
Hier muss gezeigt werden, dass diese Formel keine Tautologie ist. Da ich mich aber zu wenig mit Prädikatenlogik beschäftigt habe, überlasse ich das den wirklichen Experten. Eigentlich dient dieser Post hier hauptsächlich als Anregung für dich, etwas weiter in die richtige Richtung zu recherchieren.
Nico
Hi, danke für die Antwort!
Mit Prädikatenlogik kenne ich mich überhaupt nicht aus. Die Aufgabe entstammt einem Text über Aussagenlogik, sollte also auch mit deren Mitteln zu lösen sein. Ich habe folgende Idee (für die Formulierung des falschen Schlusses):
(p -> q) -> (q->p)
übersetzt:
„Aus (wenn Katzen, dann vier Beine) folgt (da vier Beine, also Katze)“
Bin mir aber halt nicht sicher.
Günther
Hm… so betrachtet kann man für ein einzelnes Individuum auch einfache Aussagenlogik benutzen:
a1 („Alle Katzen haben vier Beine“): Katze -> VierBeine
a2 („Pferd hat vier Beine“): VierBeine
a3 („Pferd ist eine Katze“): Katze
Die Idee für die Formel ist dann, zu behaupten: Wenn a1 und a2 gelten, dann muss auch a3 gelten:
(a1 UND a2) -> a3
(Katze -> VierBeine UND VierBeine) -> Katze
Es ist dann zu prüfen, ob diese Formel eine Tautologie ist.
Ähnlich dann für den zweiten Fall:
(Mensch -> Sterblich UND Mensch) -> Sterblich
Nico
Ja, die Variante hab ich auch schon ausprobiert. Sowohl für
(p -> q) -> (q->p) (mein Ansatz)
als auch für
((p -> q) ^ q) -> p (meine Formulierung für Deinen Ansatz
erhalte ich die Wahrheitswerte WWFW, d.h. beide Aussagen wären in der Tat falsch (wenn man ‚falsch‘ als ‚nicht durchgehend wahr‘ definiert).
Aber ich kenne mich zu wenig aus, als dass ich wüsste, an welchem formalen Element man eine Tautologie erkennt. Und ich weiß auch nicht, ob man aus der Übereinstimmung der Wahrheitswerte ableiten kann, dass die beiden Formeln äquivalent oder überhaupt richtig sind.
erhalte ich die Wahrheitswerte WWFW, d.h. beide Aussagen wären
in der Tat falsch (wenn man ‚falsch‘ als ‚nicht durchgehend
wahr‘ definiert).
Dann hast du dich irgendwo vertan.
Mensch Sterblich | a1=Mensch-\>Sterblich a2=a1 UND Mensch a3=a2-\>Sterblich
-------------------+----------------------------------------------------------
0 0 | 1 0 1
0 1 | 1 0 1
1 0 | 0 0 1
1 1 | 1 1 1
Diese Formel ist also eine Tautologie. Damit ist die Schlussfolgerung korrekt.
Nico
Meine Wahrheitstabelle (mit einem ‚F‘ drin) bezog sich auf die Katze-vier Beine-Pferd-Behauptung, und die ist ja offensichtlich in der Tat falsch.
Die „ausführliche“ ‚Mensch-Sterblich-Sokrates-Sterblich‘ Aussage lautet:
Mensch=sterblich.
Sokrates=Mensch.
Also Sokrates=sterblich.
Eine korrekte Schlussfolgerung (Konklusion) aus zwei Prämissen. Ob das gleichbedeutend mit einer Tautologie ist, weiß ich einfach nicht. Nach meinem Verständnis hätte eine Tautologie keinen Erkenntniswert, eine Schlussfolgerung aber schon. Hypothese: die verkürzte Version (OHNE die Einführung von Sokrates) ist tautologisch, die ausführliche MIT Sokrates ist eine zulässige (und in diesem Fall wahre) Schlussfolgerung.
Um zu meiner Ausgangsfrage zurückzukehren: Mir scheint nach dem Gedankenaustausch mit Dir, dass
(p -> q) -> (q->p)
die korrekte Formalisierung ist für die unzulässige Schlussfolgerung:
Alle Katzen haben vier Beine.
Ein Pferd hat vier Beine.
Also ist ein Pferd eine Katze.
Die formalisierte Version von Mensch-Sterblich-Sokrates-Sterblich (eine korrekte Schlussfolgerung) sähe dann so aus:
((p -> q) ^ p) -> q
Eine korrekte Schlussfolgerung (Konklusion) aus zwei
Prämissen. Ob das gleichbedeutend mit einer Tautologie ist,
weiß ich einfach nicht. Nach meinem Verständnis hätte eine
Tautologie keinen Erkenntniswert, eine Schlussfolgerung aber
schon. Hypothese: die verkürzte Version (OHNE die Einführung
von Sokrates) ist tautologisch, die ausführliche MIT Sokrates
ist eine zulässige (und in diesem Fall wahre)
Schlussfolgerung.
Die Schlussfolgerung hier ist ja einfach nur „Sterblich“. Und diese kann wahr oder falsch sein. Die Richtigkeit der Herleitung (die entwickelte Formel) muss aber in jedem Fall wahr, also eine Tautologie sein. Die Herleitung ist z.B. auch wahr, wenn eine Bedingung nicht erfüllt ist (Sokrates ist kein Mensch, aber sterblich). Dann ist die Herleitung trotzdem noch korrekt. Dass in diesem Fall die Schlussfolgerung „Sokrates ist sterblich“ allein aus den beiden Bedingungen (alle Menschen sind sterblich, Sokrates ist kein Mensch) nicht mehr gezogen werden kann, spielt dafür keine Rolle.
Um zu meiner Ausgangsfrage zurückzukehren: Mir scheint nach
dem Gedankenaustausch mit Dir, dass(p -> q) -> (q->p)
die korrekte Formalisierung ist für die unzulässige
Schlussfolgerung:Alle Katzen haben vier Beine.
Ein Pferd hat vier Beine.
Also ist ein Pferd eine Katze.
Diese Formalisierung bedeutet im Prinzip „Wenn alle Katzen vier Beine haben (p -> q), dann ist alles, was vier Beine hat, eine Katze (q -> p).“ Es ist also keine direkte Übersetzung der Aussagen. Allerdings ist die Formalisierung äquivalent zu der, die ich gepostet hatte (da gleiche Wertetabelle).
Ja, leuchtet mir ein.
OK, prima. Damit ist meine Ausgangsfrage beantwortet. Mit der Prädikatenlogik werde ich mich dann wohl auch bald beschäftigen müssen/dürfen.
Vielen Dank!
Günther